偏微分の問題です。

x=rsinΘcosφ,y=rsinΘsinφ,z=rcosΘのとき
1+(∂z/∂x)^2+(∂z/∂y)^2={(∂r/∂Θ)^2+(∂r/∂φ)^2/sin^2Θ+r^2}/{(∂r/∂Θ)sinΘ+rcosΘ}^2
これを示す問題なんですけど、r,Θ,φのなにか関係式があり、それを利用するのでしょうか？おねがいします。

No.1 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2008/12/21 16:55

zをr,Θ,φの関数z(r,Θ,φ)とすると

∂z/∂x = (∂z/∂r)(∂r/∂x) + (∂z/∂Θ)(∂Θ/∂x) + (∂z/∂φ)(∂φ/∂x)

r,Θ,φとx,y,zの間にはx=rsinΘcosφ,y=rsinΘsinφ,z=rcosΘから

r = √[x^2 + y^2 + z^2]
tanΘ = √[x^2+y^2]/z
tanφ = y/x

という関係であることがわかるので

∂(tanφ)/∂x = (1/cosφ)^2 (∂φ/∂x) = -y/x^2

などの計算により (∂r/∂x),(∂Θ/∂x),(∂φ/∂x)等を求められます。
この結果を使えば∂z/∂x,∂z/∂yがえられるので、それを1+(∂z/∂x)^2+(∂z/∂y)^2に代入して長い計算をすれば、答えにたどり着くはずです。