３次元の極座標について

x=rsinθcosφ
y=rsinθsinφ
z=rcosθ
というのが３次元における極座標表示のようですが、なぜこのような式になるんですか？

このような式にいたるまでの過程を教えてください。
できるだけ分かりやすく教えてほしいので、行列などを使っての説明はできるだけしないでください。

よろしくお願いします。

No.3 回答者： ereserve67 回答日時： 2012/10/20 12:42

ANo.2です。

r=OP=√(x^2+y^2+z^2)
は原点からの距離だから0以上の実数値をとります。

θは図をかいてみるとよいです。0が北極、π/2が赤道、πが南極です。緯度です。

φは上から見たxy平面上での極座標の角だから一周2πで十分です。経度です。

No.2 ベストアンサー 回答者： ereserve67 回答日時： 2012/10/17 22:38

図を書けば一発なんですが．式でやりましょう．図を書きながら読んでください．

Oを原点とし，P(x,y,z)とします．

Pからｚ軸に垂線PHを下ろします．

∠POH=θ

ですから，

PH=rsinθ

z=rcosθ(第3式)

ｚ軸の真上からPをみると，Pはｘｙ平面上にあるように見え，そのときの平面極座標が(PH,φ)になります．

よって

x=PHcosφ,y=PHsinφ

となります．すなわち

x=rsinθcosφ（第1式）

y=rsinθsinφ（第2式）

この回答への補足

回答ありがとうございます。おかげさまで理解できました。
もう1点教えていただきたいのですが、
ｒ、Θ、Φの範囲がなぜ０≦ｒ＜∞、０≦Θ＜π、０≦Φ＜２πになるのかわかりません。
教えていただけないでしょうか。

補足日時：2012/10/18 17:21

この回答へのお礼

どうもありがとうございました。

お礼日時：2012/10/21 04:18

No.1 回答者： noname#163471 回答日時： 2012/10/17 22:31

3次元の空間に点の座標A(x,y,z)が与えられているとします。

するとまず、原点OとAとの距離はr=√(x^2+y^2+z^2)で与えられます。
r≧0です。

r=0のときはφとθに意味はありません（なんでもいい）。

r>0のときは原点OとAとを結ぶ直線とz軸とのなす角度をθとすると、z=rcosθになります。0≦θ≦πとしてよいことがわかります。

このとき、点Aをxy平面（z=0）に射影したときの点をBとすると、原点OとBとの距離はrsinθになります。ここでθが0かπのとき、点Bが原点Oに一致するのでφに意味はありません（なんでもいい）。

0<θ<πのとき、原点OとBとを結ぶ直線とx軸とのなす角度をφとすると、x=（原点OとBとの距離）×cosφ=rsinθcosφとなり、y=（原点OとBとの距離）×sinφ=rsinθsinφとなります。0≦φ≦2πとしてよいことがわかります。

以上の様にして、(x,y,z)が与えられれば(r,θ,φ)が得られます。ただし上記説明にあるとおり、この対応は写像ではない（(r,θ,φ)が一意的に得られるわけではない）ことに注意。

逆に、(r,θ,φ)からは質問文にある式により一意的に(x,y,z)が得られます。