x=rsinθcosφ
y=rsinθsinφ
z=rcosθ
と置いたとき以下のように計算するのですが
θの部分微分のところで
なぜrが分母にくるのかわかりません。
初歩的な計算だと思います。
どなたか、ご指摘くださる方よろしくお願いします。
∂/∂x=∂/∂r・∂r/∂x+∂/∂θ・∂θ/∂x+∂/∂φ・∂φ/∂x
∂/∂y=∂/∂r・∂r/∂y+∂/∂θ・∂θ/∂y+∂/∂φ・∂φ/∂y
∂/∂z=∂/∂r・∂r/∂z+∂/∂θ・∂θ/∂z+∂/∂φ・∂φ/∂z
r^2=x^2+y^2+z^2
tanφ=y/x
tan^2θ=(x^2+y^2)/z^2
から
∂r/∂x=sinθcosφ
∂r/∂y=sinθsinφ
∂r/∂z=cosθ
∂θ/∂x=cosθcosφ/r ←ここ
∂θ/∂y=cosθsinφ/r ←ここ
∂θ/∂z=-sinθ/r ←ここ
∂φ/∂x=-sinφ/rsinθ
∂φ/∂y=cosφ/rsinθ
∂φ/∂z=0
等が求まる。
∂/∂x=sinθcosφ∂/∂r+(cosθcosφ/r)∂/∂θー(sinφ/rsinθ)∂/∂φ
∂/∂y=sinθcosφ∂/∂r+(cosθsinφ/r)∂/∂θ+(cosφ/rsinθ)∂/∂φ
∂/∂z=cosθ∂/∂rー(sinθ/r)∂/∂θ
これを
∇=i∂/∂x+j∂/∂y+k∂/∂z
に代入して求めます。
つぎの式も丹念に計算していくと
∇^2=∂^2/∂r^2+(2/r)∂/∂r
+(1/r^2sinθ)∂(sinθ∂/∂θ)/∂θ
+(1/rsinθ)^2・∂^2/∂φ^2
注意深く計算して行って下さい。途中間違えたら台無しです。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
#1さんの回答では
∂r/∂x = sinθcosφ
を使っていますが、
(tanθ)^2 = (x^2 + y^2)/z^2
の両辺を偏微分すると、直接的に求める式を得られます。
例えば、x で偏微分すると
{2 tanθ/(cosθ)^2}∂θ/∂x = 2x/z^2。
これより
∂θ/∂x = {(cosθ)^3/sinθ}(x/z)/z
= {(cosθ)^3/sinθ}(sinθcosφ/cosθ)/(r cosθ)
= cosθcosφ/r。
No.1
- 回答日時:
z=rcosθ
∂z/∂x=∂r/∂x*cosθ+r∂cosθ/∂x
0=sinθcosφ*cosθ+r*(-sinθ)∂θ/∂x
http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/labo/text/polar- …
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