AKB48の推しメンをセンターにできちゃうかもしれない!? >>

以下の8問の2変数関数の極限値を求めてる問題を解いてみたのですが
計算結果が正しいか自信がありません。
わかる方、ご指導よろしくお願いいたします。

【問題】
次の極限値は存在するか。存在する時には、その極値を求めよ。

(1) lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/√(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (xy)/√(x^2+y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (xy)/√(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/√(x^2+y^2)は極限値は0をとる。


(2) lim [(x,y)→(0,0)] (x^2+2y^2)/√(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (x^2+2y^2)/√(x^2+y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (x^2+2y^2)/√(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (x^2+2y^2)/√(x^2+y^2)は極限値は0をとる。


(3) lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/(x^2+2y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (xy)/(x^2+2y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (xy)/(x^2+2y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/(x^2+2y^2)は極限値は0をとる。


(4) lim [(x,y)→(0,0)] (x-y^2)/(x^2-y)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (x-y^2)/(x^2-y) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (x-y^2)/(x^2-y) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (x-y^2)/(x^2-y)は極限値は0をとる。


(5) lim [(x,y)→(0,0)] (y^2)/(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (y^2)/(x^2+y^2) = 1
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (y^2)/(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方をすると極限値が1つに定まらない。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (y^2)/(x^2+y^2)は極限値を持たない。


(6) lim [(x,y)→(0,0)] (x^2-y^2)/(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (x^2-y^2)/(x^2+y^2) = -1
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (x^2-y^2)/(x^2+y^2) = 1
上記より、異なる近づけ方をすると極限値が1つに定まらない。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (x^2-y^2)/(x^2+y^2)は極限値を持たない。


(7) lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (xy)/(x^2+y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (xy)/(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/(x^2+y^2)は極限値は0をとる。


(8) lim [(x,y)→(0,0)] (x^2y)/(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (x^2y)/(x^2+y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (x^2y)/(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (x^2y)/(x^2+y^2)は極限値は0をとる。


もし、導き方がおかしいようなら、ご指摘いただければと思います。
以上、ご指導のほどよろしくお願いします。

A 回答 (2件)

訂正


(1)は式に絶対値をつけとかんといかんかった。
|(xy)/√(x^2+y^2)|=|x|/√(x^2+y^2)・|y|/√(x^2+y^2)・√(x^2+y^2)
≦1・1・√(x^2+y^2) →0
(3)と(8)も。
失礼しました。
    • good
    • 7
この回答へのお礼

細かい箇所も訂正していただき、ありがとうございました。
大変参考になりました。

お礼日時:2008/12/27 10:43

(1) △ (2)△ (3)× (4)× (5)○ (6)○ (7)× (8)△



極限の(x,y)→(0,0)は、xとyをどちらかを固定して0に近づけるという意味ではない。だから、解答のように2方向からの極限を示すだけでは不十分である。どういう近づけかたをしても、同じ値に収束するということをいわねばならない。それには、普通は距離√(x^2+y^2)を使って比較する。距離の式としては、ほかに|x|+|y|とか、max(|x|,|y|)などを使ってもよい。逆に、収束しないことを示す場合なら、2方向からの極限が一致しないことを示せば十分なので、解答の通りでよい。

(1)
(xy)/√(x^2+y^2)=x/√(x^2+y^2)・y/√(x^2+y^2)・√(x^2+y^2)
≦1・1・√(x^2+y^2) →0
という形で示す方がよい。

(2)も、
(x^2+2y^2)/√(x^2+y^2)≦x+2y≦(1+2)√(x^2+y^2)→0

(3)は収束しない。
y=0としたときの、x→0での極限は0だが、
x=yを保ったまま、x→0とすると、
(xy)/(x^2+2y^2)→1/3となって、極限が定まらない。

(4)は収束しない。計算も間違っている。
lim[x→0]lim[y→0] (x-y^2)/(x^2-y)
= lim[x→0](x/(x^2)) =lim[x→0](1/x)となって発散。

(5)と(6)はOK

(7)収束しない。
y=0としたときの、x→0での極限は0だが、
x=yを保ったまま、x→0とすると、1/2となる。

(8)収束する
(x^2y)/(x^2+y^2)=(x/√(x^2+y^2))^2・y/√(x^2+y^2)・√(x^2+y^2)
≦1^2・1・√(x^2+y^2)→0

この回答への補足

早速の解答ありがとうございました。
また、丁寧に解説していただき、ありがとうございました。
まだまだ勉強不足ですが、今後もご指導のほどよろしくお願いします。

補足日時:2008/12/27 10:40
    • good
    • 3
この回答へのお礼

すみません、間違って補足にお礼を書いてしまいました。
以上、おわびまで。

お礼日時:2008/12/27 10:44

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Q2変数関数での極限値の計算過程について教えてください

こちらで以前、以下の極限値を求め方を質問したのですが、
教えていただいたアドバイスにあった計算のうち、
一部の式の導き方がよく理解できませんでした。
どうして、この計算式が導かれるのかがわからないのと、
この計算式は公式のように(証明なしで)いきなり使っていいのか
の2点について、詳しい方、ご指導よろしくおねがいします。

【問題】
次の極限値は存在するか。存在する時には、その極値を求めよ。
lim [(x,y)→(0,0)] (x-y^2)/(x^2-y)

【教えてもらった答え】
(x^2+2y^2)/√(x^2+y^2)≦x+2y≦(1+2)√(x^2+y^2)→0
よって、極限値0をもつ。

【疑問点1】
(x^2+2y^2)/√(x^2+y^2)≦x+2y
の左半分の箇所ですが、これのx,yに適当なを入れても、
≦になりましたが、これは証明なしにいきなり使っても
いいのでしょうか?
また、どうしてこの右辺が出てきたのでしょうか?

【疑問点2】
右半分のx+2y≦(1+2)√(x^2+y^2)の箇所ですが、
たとえばx=1,y=2の場合は左辺が5,右辺が3/√5となり、
左辺>右辺になってしまうのですが、これであっているのでしょうか?

解答していただいた方がわかるだろう思って
途中の細かい式を省略して書かれたのを
私が理解していないだけなのかもしれませんが、
勉強不足のため、よくわかりませんでした。

初歩的な質問で申し訳ありませんが、わかる方、ご指導のほど
よろしくお願いします。

こちらで以前、以下の極限値を求め方を質問したのですが、
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【問題】
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lim [(x,y)→(0,0)] (x-y^2)/(x^2-y)

【教えてもらった答え】
(x^2+2y^2)/√(x^2+y^2...続きを読む

Aベストアンサー

lim [(x,y)→(0,0)] (x-y^2)/(x^2-y)
この積分は収束しません。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4585839.html

以下、lim (x^2+2y^2)/√(x^2+y^2) ((x,y)→(0,0)の質問として回答します。
【疑問点1】について
まず、三角不等式|A+B|≦|A|+|B|を使って、
|(x^2+2y^2)/√(x^2+y^2)|≦(|x|^2+2|y|^2)/√(x^2+y^2)。。。(1)
と変形する。右辺は次のように処理する。
任意のx,yについて、|x|/√(x^2+y^2)≦1および|y|/√(x^2+y^2)≦1が成り立っていることに注意する。両辺を2乗して、
|x|^2/(√(x^2+y^2))^2≦1
よって、|x|^2/√(x^2+y^2)≦√(x^2+y^2)。。。(2)
同様に|y|^2/√(x^2+y^2)≦√(x^2+y^2)だから
2|y|^2/√(x^2+y^2)≦2√(x^2+y^2)。。。(3)
(2)と(3)を足して、
(|x|^2+2|y|^2)/√(x^2+y^2)≦3√(x^2+y^2)。。。(4)
(4)を(1)の右辺に使って、
|(x^2+2y^2)/√(x^2+y^2)|≦3√(x^2+y^2)
ここで、(x,y)→(0,0)として、
|(x^2+2y^2)/√(x^2+y^2)|→0
よって、lim (x^2+2y^2)/√(x^2+y^2)=0

【疑問点2】について
5<3/√5=6.708...です。

三角不等式や|x|≦√(x^2+y^2)など基本的な不等式は、普通の教科書では水や空気のごとく、特にことわりもなく使われます。不等式の変形を暗算でできるようになるぐらい練習するといいでしょう。

lim [(x,y)→(0,0)] (x-y^2)/(x^2-y)
この積分は収束しません。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4585839.html

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【疑問点1】について
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と変形する。右辺は次のように処理する。
任意のx,yについて、|x|/√(x^2+y^2)≦1および|y|/√(x^2+y^2)≦1が成り立っていることに注意する。両辺を2乗して、
|x|^2/(√(x^2+y^2))^2≦1
よって...続きを読む

Q2変数関数の極限値を求める問題(rsinθ,rcosθを使った解き方)

以前、こちらで2変数関数の極限値を求める問題の解法を
教えていただいたのですが、その方法以外に、x=rcosθ,y=rsinθを
使って解く方法で問題を解いてみました。
この解き方で正しいか、ご指南のほど、よろしくお願いします。

【問題】
lim[(x,y)→(0,0)] (xy)/(√(x^2+y^2))

【自分の解】
x=r・cosθ,y=r・sinθとおくと、
(xy)/(√(x^2+y^2))
= r^2(sinθcosθ)/(√(r^2・sin^2θ+r^2・cos^2θ))
= r^2(sinθcosθ)/(r・√(sin^2θ+cos^2θ))
= r^2(sinθcosθ)/(r・√1)
= r^2(sinθcosθ)/(r)
= r(sinθcosθ)
よって、lim[r→,0] r(sinθcosθ)=0
上記より、r→0のとき、極限値0が存在する。

以上、ご指導のほど、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

#2です。
補足します。

x,yをXY直交座標平面に対応付けるとき、
任意の点(x,y)の座標が
-∞<x<∞,-∞<y<∞
の範囲に属するとき
x=rcosθ,y=rsinθ
なる関係式で極座標平面上の点(r,θ)と1:1に対応ずけ、
XY座標平面全体を極座標平面全体に対応付けるときは(r,θ)の変域を
0≦r<∞,-π≦θ<π(または-π<θ≦π、または0<θ≦2π)
の範囲に制限します。
直交座標と極座標の変換にこだわらないなら、(r,θ)に対して、別の変域を定義しても構いません。通常は上の変域を設定することが多いですね。
変数変換するときは、通常、変数の変域の対応関係を書くようにした方が良いと思います。そうするの、変換後の(r,θ)の不要な場合分けが後から発生しないで済みます。

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Q2変数関数のロピタルの定理

lim x→0,y→0,{(x^5+y^6)/(x^4+y^4)}のを解いています。x,yを極座標表示してr→0でも解けそうですが、その方法はやるなと禁止されています。そこで、ロピタルの定理を思いついたのですが、2変数でのロピタルの定理の使い方がわかりません。
 分母、分子を両方偏微分してもロピタルの定理は成立するのでしょうか?それとも全微分しなければいけないのでしょうか?教えてくださいm(__)m

Aベストアンサー

なぜ極座標変換が禁止されているのか理解に苦しみますが、2変数関数として上記極限がもし存在するのであれば、limを順番に取ることが許されます。したがって“もし、問題として与えられているならば”たとえばまずx→0としてみたらよいのです。そうすればy^2となって、あとはy→0とするだけです。あるいは先にy→0としてxが得られますから、これでx→0としても同じです。

偏微分でロピタルを使うとのことですが、それはそもそも不可能です。ロピタルの定理が使えるのは不定形極限になっているときのみであって、たとえばy≠0をとめてxで偏微分するという立場では、これは不定形極限になっていないのです。

おそらく意図されているのは、次のような解法であると思います。
(x^5+y^6)/(x^4+y^4)=x[x^4/(x^4+y^4)]+y^2[y^4/(x^4+y^4)]
と変形できて、[・・・]部分はともに1より小さい。よってx→0、y→0のとき0に収束する。という感じです。分子の各項が分母の各項より収束が早いことが一目で分かりますので、基本的にこういう変形を考えるのがよいと思います。

なぜ極座標変換が禁止されているのか理解に苦しみますが、2変数関数として上記極限がもし存在するのであれば、limを順番に取ることが許されます。したがって“もし、問題として与えられているならば”たとえばまずx→0としてみたらよいのです。そうすればy^2となって、あとはy→0とするだけです。あるいは先にy→0としてxが得られますから、これでx→0としても同じです。

偏微分でロピタルを使うとのことですが、それはそもそも不可能です。ロピタルの定理が使えるのは不定形極限になっているときのみであって、たと...続きを読む

Q接平面の式

曲面z=3-x^2-y^2 の点(1,1,1)における接平面の式は
どのように求めればいいのでしょうか?

また、その接平面から距離が√5となる平面の式も
求めたいのです。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

参考程度に

「曲面z=3-x^2-y^2 の点(1,1,1)における接平面の式は
どのように求めればいいのでしょうか?」

接平面の方程式がいりますね。
z=f(xy), 点(a,b,c) の時の 接平面の方程式は、
z-c=fx'(a,b)(x-a)+fy'(a,b)(y-b)
ですね。
z=3-x^2-y^2 の点(1,1,1)の場合は、
c=1, {∂f(xy)/∂x}(1,1,1)=-2x=-2
{∂f(xy)/∂y}(1,1,1)=-2y =-2
z-1=-2(x-1)-2(y-1)=-2x-2y+4
z=-2x-2y+5
ということですかね。

Q2変数テイラー展開が分かりません。

見ていただきありがとうございます。

問題はこちらです。
次の関数f(x,y)のx=0、y=0におけるテイラー展開を3次の項まで求めよ。

f(x,y)=1/ルート(4ーx^2ーy^2)

解き方、解答ともに分かりません。

もし分かる方がいましたら回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

以下の参考URLに定義式と解き方の例がありますので、よく読んでやってみて下さい。
http://markun.cs.shinshu-u.ac.jp/learn/biseki/no_9/cont09_3.html
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/10kaisk/100ksk.html
http://gandalf.doshisha.ac.jp/~kon/lectures/2005.calculus-II/html.dir/node35.html
ただ、ひたすら、3階までの偏導関数を求めてx=y=0を代入し、定義式に代入するだけです。

やってみて分からなければ、やった途中計算を書いたうえで、行き詰ってわらない箇所の質問して下さい。

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Qエクセルで計算すると2.43E-19などと表示される。Eとは何ですか?

よろしくお願いします。
エクセルの回帰分析をすると有意水準で2.43E-19などと表示されますが
Eとは何でしょうか?

また、回帰分析の数字の意味が良く分からないのですが、
皆さんは独学されましたか?それとも講座などをうけたのでしょうか?

回帰分析でR2(決定係数)しかみていないのですが
どうすれば回帰分析が分かるようになるのでしょうか?
本を読んだのですがいまいち難しくて分かりません。
教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
 2.43×1/(10の19乗)で、
 2.43×1/10000000000000000000となり、
 2.43×0.0000000000000000001だから、
 0.000000000000000000243という数値を意味します。

補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何?下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるた...続きを読む

Qy=x^(1/x) の 微分

y=x^(1/x) の微分を教えてください。
簡単な問題なのにすいません。

Aベストアンサー

対数微分法で微分できます。まずは両辺の対数をとって

y = x^(1/x)
→log|y| = log|x^(1/x)|
→log|y| = (1/x)log|x|

このlog|y| = (1/x)log|x|の両辺をxで微分します。

まず左辺をxで微分することを考えます。
f(x) = log|x|とおき、g(x) = yとおくと、
log|y| = f(g(x))
ですので、

(log|y|)'
={ f(g(x)) }'
= f'(g(x)) × g'(x)

です。f'(x) = 1/xですのでf'(g(x)) = 1/y、
g'(x) = (y)' = y'より、
(log|y|)'
= f'(g(x)) × g'(x)
= y' / y

です。
y = x^(1/x)を代入すると

(log|y|)'
= y' / y
= y' / { x^(1/x) }

となります。

(log|y|)' = { (1/x)log|x| }'
→y' / { x^(1/x) } = { (1/x)log|x| }'

この両辺に{ x^(1/x) }をかけると

y' = { x^(1/x) } × { (1/x)log|x| }'

となります。
なので{ (1/x)log|x| }'の計算をすればy'が求まります。
積の微分で解いてください。

対数微分法で微分できます。まずは両辺の対数をとって

y = x^(1/x)
→log|y| = log|x^(1/x)|
→log|y| = (1/x)log|x|

このlog|y| = (1/x)log|x|の両辺をxで微分します。

まず左辺をxで微分することを考えます。
f(x) = log|x|とおき、g(x) = yとおくと、
log|y| = f(g(x))
ですので、

(log|y|)'
={ f(g(x)) }'
= f'(g(x)) × g'(x)

です。f'(x) = 1/xですのでf'(g(x)) = 1/y、
g'(x) = (y)' = y'より、
(log|y|)'
= f'(g(x)) × g'(x)
= y' / y

です。
y = x^(1/x)を代入すると

(log...続きを読む


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