
ラプラス変換で、
L(t^nf(t))=(-1)^n d^n/ds^n F(s)
がありますね。俗に言う像の微分法則の一般形です。
^nはn乗を意味し、F(s)はf(t)のラプラス変換です。
今回の質問はf(t)がsin(at)またはcos(at)のとき、どうなるかということです。つまり、
L(t^nsin(at))=
L(t^ncos(at))=
が何かになるということです。
計算していくと、結局は
a/(s^2+a^2) および s/(s^2+a^2) のn階微分を求めればいいのですが、これが私はできないのです。どうか知恵を貸してください。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
L(t^n・sin(at))
={(-1)^n・n!/(s^2+a^2)^(n+1)/2}・sin[(n+1)cot^(-1)[s/a]]
L(t^n・cos(at))
={(-1)^n・n!/(s^2+a^2)^(n+1)/2}・cos[(n+1)cot^(-1)[s/a]]
(1/(s^2+a^2) および s/(s^2+a^2) のn階微分公式を利用しました。)
この回答への補足
早くも返事いただき、ありがとうございます。いくつかたずねたいのですが、sin[(n+1)cot^(-1)[s/a]やcos[(n+1)cot^(-1)[s/a]といった項は出てくるんですか??
後、1/(s^2+a^2) および s/(s^2+a^2) のn階微分公式はできれば導き方を教えていただきたいです。
No.3
- 回答日時:
補足要求からの返答が遅れました事お詫び致します。
取り敢えず
f(s)=a/(s^2+a^2) の場合のみ導出します。
sで1回微分するとf'(s)=-2as/(s^2+a^2)^2
一方f^<n>(s) (f^<n>(s)はfのn回微分を表すものとする)
={(-1)^n・n!/(s^2+a^2)^(n+1)/2}・sin[(n+1)cot^(-1)[s/a]]
においてn=1のとき
=-1/(s^2+a^2)・sin[2cot^(-1)[s/a]]・・・(1)である。
ここでcot^(-1)[s/a]=φとおけば
sinφ=a/√(s^2+a^2)
cosφ=s/√(s^2+a^2)
で表せる。よって
(1)=-1/(s^2+a^2)・sin[2φ]=-1/(s^2+a^2)・2sinφcosφ
=-2/(s^2+a^2)・a/√(s^2+a^2)・s/√(s^2+a^2)
=-2as/(s^2+a^2)^2=f'(s)
n=kのとき成り立つとする。
f^<k>(s)
={(-1)^k・k!/(s^2+a^2)^(k+1)/2}・sin[(k+1)cot^(-1)[s/a]]
両辺をsで微分(見づらいのでcot^(-1)[s/a]=φとしておく)
f^<k+1>(s)=d/ds(f^<k>(s))
=d/ds{(-1)^k・k!/(s^2+a^2)^(k+1)/2}・sin[(k+1)φ]
=(-1)^(k+1)・(k+1)!/a(s^2+a^2)^(k+3)/2{s・sin[(k+1)φ]+a・cos[(k+1)φ]}
=(-1)^(k+1)・(k+1)!/a(s^2+a^2)^(k+2)/2・{s/√(s^2+a^2)・sin[(k+1)φ]+a/√(s^2+a^2)・cos[(k+1)φ]}
=(-1)^(k+1)・(k+1)!/a(s^2+a^2)^(k+2)/2・sin[(k+2)φ]
=(-1)^(k+1)・(k+1)!/a(s^2+a^2)^(k+2)/2・sin[(k+2)cot^(-1)[s/a]]
依ってn=k+1のときも成立
従って、
f^<n>(s)
={(-1)^n・n!/(s^2+a^2)^(n+1)/2}・sin[(n+1)cot^(-1)[s/a]]
No.2
- 回答日時:
#1 の結果が得られることが分かっていれば筋道は立ちます.
たとえば s/(s^2+a^2) = (1/2)[1/(s+ia) + 1/(s-ia)] を n階微分すればいい. s+ia や s-ia の (n+1)乗を求めるところは「単なる複素数」と思って極座標表示に変換すればよいでしょう.
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