導関数の極限値？？？？

ニューアクションβIIICをやってます。
例題９７に
関数f(x)=x＾2/3(x+5)の増減、極値、グラフの凹凸および編曲店を調べてそのグラフをかけ
とあります。
増減表まで求めて
極大値　３×4＾1/3
極小値　０
変曲点(１、６)
ｆ(x)がx→∞のとき∞
f(x)がx→－∞のとき－∞
というところまで求めました。
でもその後です。
ｘが＋０や－０に近づくときの極限値を
ｆ´(ｘ)に適応してるんです。
なんでｆ(ｘ)でなくｆ´(ｘ)に使うんでしょうか・・。


同じような疑問がまとわり付く問題が例題９９にもあります。
f(x)＝x/logxのグラフをかく問題です。
極値や凹凸は求めて
x→∞となるときf(x)に適応して∞と求まるとこまでいきました。
やはりここからが疑問です。
x→+0のときの状態を調べるために
f´(x)に適応してます。この問題の場合f(x)にも使っており
f´(x)、ｆ(x)両方に使ってます。ますます意味が分かりません・・。

No.1 回答者： proto 回答日時： 2009/02/26 18:08

「f(x)に適応(適用？)しています」とか「f(x)に使ってます」とかの意味がよく分からないのですが、もっと具体的に"何"を求めるために"どのような計算"をしているのか書いてもらえませんか？

出来れば口語ではなく数式で書いてください。

それと問題の関数は
　　f(x) = (x^2)/(3(x+5))
ですか？
それとも
　　f(x) = (x^(2/3))*(x+5)
ですか？
指数や分数の解釈が少し紛らわしいので、括弧を多用して表記してくださいね。

この回答へのお礼

回答どうもです。問題集の模範解答をかきます。
まず問題の関数は
f(x) = (x^(2/3))*(x+5)　です。

f(x)は定義域は実数全体。
またf´(x)＝5(x+2)／3(x＾(1/3))
f´(x)＝0とおくと　x=-2
f´´(x)＝10(x-1)／9(x＾(4/3)
f´´(x)=0とおくと x=1
よって関数の増減、凹凸は次の表のようになる。

表は省略

この表より
x=-2のとき　極大値3・4＾(1/3)
x=0のとき　極小値0
変曲天(1,6)
また

ｌｉｍ f(x)＝∞
x→∞

ｌｉｍ f(x)＝-∞
x→-∞

さらに

ｌｉｍ f´(x)＝∞
x→+0

ｌｉｍ f´(x)＝-∞
x→-0

であるから、グラフは原点Ｏでｙ軸に接する。
したがって、グラフは図の通り(図は省略)


となっております。

最後の二つの極限式の必要性がわからないんです。

ｌｉｍ f´(x)＝±∞
x→±0

を使わず

ｌｉｍ f(x)＝±∞
x→±0

を使ってはダメなんでしょうか。

お礼日時：2009/02/26 18:22

No.2 ベストアンサー 回答者： proto 回答日時： 2009/02/26 18:52

補足ありがとうございます。

　　lim[x→+0]{f'(x)} = ∞
　　lim[x→-0]{f'(x)} = -∞
この2式で求めているものはx=0におけるf(x)の極限値ではありません。
x=0におけるy=f(x)の接線の傾きを求めています。

通常x=aにおけるy=f(x)の接線の傾きを求めるには、f'(x)を求めてf'(a)を計算すればいいですね。
しかし、今回の場合x=0はf'(x)の定義域に含まれていません。
そこでx→0のときのf'(x)の極限をとって、x=0におけるy=f(x)の接線の傾きを調べようというのが上の計算です。

極限をとった結果、y=f(x)の接線の傾きはx=0で∞になることがわかります。
ですからx=0におけるy=f(x)の接線は、点(0,0)を通って傾きが∞ということで、y軸と一致すると言えるのです。
言い換えればx=0でy=f(x)はy軸に接することになりますから、模範解答ではそのように結論しているのです。

この回答へのお礼

意味あいが理解できました。
ありがとうございました。

お礼日時：2009/02/26 19:26