慣性モーメントで棒の場合にて

いつもお世話になっています。

慣性モーメントで真ん中を基準として長さaの棒の質量(m)だけを考えるとき、実際両端には質量がないので、「ma^2 + ma^2 = 2ma^2」となりますよね？

このとき慣性モーメントは0となると思うのですが、微分方程式を使って真ん中を基準としたとき慣性モーメントが「1/12(ma^2)」となります。

ここでなぜ答えが食い違ってしまうのでしょうか？
前者と後者は別のものなのでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： yokkun831 回答日時： 2009/04/08 21:48

>前者と後者は別のものなのでしょうか？

真ん中を軸として角速度ωで回転しているときの運動エネルギーを，試しに2本に分割して考えてみます。

（１）それぞれの重心の運動のエネルギーの和は
　　1/2・m/2・(a/4・ω)^2×2
（２）それぞれの重心周りの回転の運動エネルギーの和は
　　1/2Iω^2×2=1/12・m/2・(a/2)^2ω^2×2

そして両者の和をとると，1/2・1/12・ma^2ω^2
結局，中心周りの慣性モーメントを考えればそれだけでいいのです。
全体の重心が中心軸と一致しており重心の速度はゼロなのですから当然のことです。
前半に書かれたことを読むと，基本的な部分で何か勘違いをされているのではないかと察します。

No.1 回答者： Akira_Oji 回答日時： 2009/04/08 13:33

前者の答えの出し方の論理がよく分かりません。

後者については、「微分方程式」ではなく「積分」を使います。
基本的には基準点から測った注目している質量要素ｄｍまでの距離をｘとすれば、慣性能率　Ｉ　は
Ｉ＝Ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｘ＾２　ｄｍ
を全領域にわたって積分すればいいわけです。これは基本ですから、未知の形に出会ったときはここから出発してください。

中心を基準点にしているので、ｘ＝０からｘ＝ａ／２までが、左・右でこれの２倍です。質量要素ｄｍは線質量密度が
（ｍ／ａ）
なので、場所ｘにある微小部分ｄｘの質量要素ｄｍは
ｄｍ＝（ｍ／ａ）ｄｘ
です。
よって、慣性能率　Ｉ　は
Ｉ＝２ｘＩｎｔｅｇｒａｌ｛０ー＞ａ／２｝　ｘ＾２　（ｍ／ａ）ｄｘ
ここで（ｍ／ａ）は定数ですから、積分の前に出して
＝２ｘ（ｍ／ａ）Ｉｎｔｅｇｒａｌ｛０ー＞ａ／２｝　ｘ＾２ｄｘ
＝（２ｍ／ａ）｛（（ａ／２）＾３／３｝
＝（２ｍ／ａ）｛（ａ＾３／８）／３｝
＝（ｍ／１２）ａ＾２
となります。