No.3ベストアンサー
- 回答日時:
回答は既に inara1さんが示されていますので、私は参考意見を。
どんな流れか判らずに計算だけしても、私にはどうも判った気がしません。
式を見て流線が思い浮かぶようになれば、問題を理解できた気がします。
なかなかそうは行きませんが、式が簡単ならなんとか。。。
速度ベクトル図を添付します。(プログラミングに1週間以上かかってもうた・・・)
流速が無限大となる部分は矢印を図示していません。
【1】inara1さんの解釈(1)の場合、例えば A=B=1 とおくと、
u(x,y)=-1/y ・・・(1)
v(x,y)=1/x ・・・(2)
速度ベクトルは添付図の左です。
(1)式よりu(水平方向)は、y=0(x軸上)で無限大、その上下でuの符号(矢印の向き)が逆転。
(2)式よりv(垂直方向)は、x=0(y軸上)で無限大、その左右でvの符号が逆転。
各々原点や軸に近いほど絶対値は大きい。
第1象限は x>0, y>0 で、(1)よりuは負、(2)よりvは正なので、合成速度は左上に向かう。
第2象限は x<0, y>0 で、uは負、vは負なので、左下に向かう。
第3象限は x<0, y<0 で、uは正、vは負なので、右下に向かう。
第4象限は x>0, y<0 で、uは正、vは正なので、右上に向かう。
こう考えながら紙に図を書くと、添付図左のような流れが浮かんでくるでしょう。
(なおA,Bとも負なら全部の矢印の向きが逆転し、A,Bの符号が違うと全然違う双曲線のパターンになります。)
【2】inara1さんの解釈(2)の場合、r,θをx,yに直し、A=B=1とおいて、
u(x,y)=-sinθ/r =-y/r^2 ・・・(3)
v(x,y)=cosθ/r =x/r^2 ・・・(4)
但し r^2=x^2 + y^2
速度ベクトルは添付図の中央です。
(A、Bとも負なら回転方向は逆になります。)
原点ではどちらの流速も発散(特異点)。
u=-sinθ/r と v=cosθ/r では、分子は-1~1 の間、rは幾らでも大きな値をとれるから、各々原点から遠ざかるほど絶対値は小さい。
流れ関数Ψを計算すると、
u=∂Ψ/∂y=-y/(x^2 + y^2)
v=-∂Ψ/∂x=x/(x^2 + y^2)
各々積分して Ψ=-log(x^2 + y^2)=-2logr
Ψ一定の曲線ではrが一定。流線は同心円になり、合成速度は円の接線方向。
こう考えながら紙に図を書くと、添付図中央のような流れが浮かんでくるでしょう。
【3】前問(問題文を撮影貼付→削除されると思われますので、URL省略)
2次元極座標系(<>は添字)
v<r>=A/r ・・・(5)
v<θ>=B/r ・・・(6)
仮にv<r>=0 なら、流線は原点を中心とする同心円で、v<θ>=B/rより v・r=const、原点の回りの角運動量(mvr)が一定の「自由渦」になります。
ビーカーに水を入れ、マグネット回転子をいれて強攪拌すると、液面の中央が朝顔の花のように凹みますが、その流れ。
自由渦は「渦なしの流れ」だそうです。
(自由渦は発生点以外では「渦度」が 0なので、こう呼ばれるらしいです。しかし個人的には「渦なしって言われても、立派な渦じゃんか。渦度なしの流れに変えて欲しい」と思います。その際にはついでだから、電流は今までの正負を逆にしてね。)
ちなみに「強制渦」は v/r=const=ω(角速度)。バケツに水を入れ鉛直軸回りにグルグル回せば、水面ははじっこ程盛り上がって、回転放物面になります・・・腕では疲れるので、遠心分離機で。
強制渦は渦度ζ=2ωを持ち、全体が固化したように、流体要素は互いの関係位置を保ちます。
前問の問題文より A=B とは限らないので、A=2、B=3とおいて、
v<r>(r,θ)=2/r
v<θ>(r,θ)=3/r
速度ベクトルは添付図の右です。
v<r>≠0 なので、Bが正(下図)なら、原点からの湧き出しと、自由渦の合成になっています。
v<r>の符号、つまり(5)のAの正負に従い、原点での湧き出しまたは吸い込みとなり、それと自由渦の合成になります。
v<θ>の符号、つまり(6)のBの正負に従い、回転方向は左回りまたは右回りに変わります。
回転しながら原点に吸い込まれる自由渦は、風呂の栓を抜けば観察できます。
No.2
- 回答日時:
数式は * と ( ) を使って誤解のない表記としたほうがいいです。
ご質問の速度成分が以下のどちらの意味かで結果が違ってきます。
(1) u = -A/( r*sinθ ) 、v = B/( r*cosθ )
(2) u = -( A*sinθ )/r、v = ( B*cosθ )/r
tanθ = y/x、r = √( x^2 + y^2 ) なら、sinθ = y/r、cosθ = x/r ですから、これを上式に代入すれば上式の u と v を x と y で表わすことができます。
二次元の非圧縮性流れでの連続の式というのは
∂u/∂x + ∂v/∂y = 0
です。(1)の場合、∂u/∂x = ∂v/∂y = 0 となって、A, B のよらず連続の式が成り立ってしまうので、正しい問題の式は(2)のほうでしょう(その場合、 A = B が連続の式が成り立つ条件です) 。
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