電気力線の式について

こんにちは。電磁気の電気力線の式についての質問です。電気力線の式を探していろいろなHPを見ていたのですが↓
http://www6.ocn.ne.jp/~simuphys/DRikisen/DRikise …
のHPで、上から8行目辺りに「多数の点電荷が１直線上に並んでいるときには、１つの関係が成り立つ」という記述があり、その後に、「Σq(n)cosθ(n)＝一定」の式が記述されているんですが、なぜ多数の点電荷が直線に並んでいるとこの式が導かれるのか分かりません。誰か教えて下さい。お願いします。

No.3 回答者： noname#96417 回答日時： 2009/06/03 20:49

#1&2です。

#2に書きましたように#1の説明は電荷が断面Bの両側に存在する場合にはそのままでは適用できませんが、その場合に対する説明として#2はたぶん不適当ですね。
お騒がせしました。
正しい説明はどなたかにお願いします。

No.2 回答者： noname#96417 回答日時： 2009/05/31 18:44

#1です。

補足します。
#1の説明は断面 B の両側に電荷が分布している場合には、そのままでは適用できません。（すみません。）
しかし、θi > π / 2 に対してはθi を逆の方向から計り（θi' = π - θi）、かつ電荷 qi を - qi と考えればよく、
cos(π - θi) = - cosθi
なので、結果的には最後の式
Σ qi cosθi = 一定
は成り立つことになります。
（違いますか？）

No.1 ベストアンサー 回答者： noname#96417 回答日時： 2009/05/31 15:56

1本の電気力線を考えます。

対称性より、その力線と電荷が分布している直線（L）で平面がひとつ決まります。その力線を直線 L の周りに回転させます。できた軸対称の図形を A とします。A の上に１点 Q を取り、Q を通り、L に垂直な A の断面 B を考えると、B を貫く力線の数は Q の位置によらず一定です（理由は考えてください）。その B を貫く力線の数は、電場の軸方向の成分を B 上で積分すれば得られますが、電場は個々の電荷が作る電場の重ね合わせなので、結局、個々の電荷が作る電場の寄与の和になります。個々の電荷が作る電場の寄与は、電荷 qi と、その電荷から見た B の立体角 Ωi の積に比例します（納得できなければ、計算を実行してみてください）。
Ωi = ∫[0→θi]sinθdθdφ
　　= 2π(1 - cosθi)
なので、結局
Σ qi Ωi = 一定
より
Σ qi cosθi = 一定
が得られます。