倍数の和の問題

子供に聞かれたのですが、いろいろやってみても解けず、困っています。どうか分かり易く教えてください。

(問題)　2つの整数A,Bがあります。Aの倍数とBの倍数の和を求めていろいろな整数を作ります。このときどちらか一方の倍数だけでもよいものとします。すると、70より小さい整数の中には作れないものがありますが、70以上の整数は全て作れます。整数A,Bの組合せとして考えられるものを全て答えなさい。

No.1 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/07/03 08:44

変な問題ですね。

問題文中の「整数」を「自然数」に書き換え、
「倍数」の意味をソレに沿って制限すると、
問題として成立するようになる
と思います。

この回答への補足

すみません。これは算数の問題なので、負の数を含まないことが前提になっているのだと思います。ですから仰るとおりの意味内容の問題だと思いますのでよろしくお願いします。

補足日時：2009/07/03 09:19

No.2 回答者： haberi 回答日時： 2009/07/03 09:57

私のとき方が悪いのか、算数レベルではないような気が・・・

A,Bが偶数コンビだと奇数を作れないので、少なくともどちらか一方は奇数で
あることは明白です。
また１は万能で、どんな数も出来ちゃいますから明白にのぞかれます。
そこで3以上の奇数をAとし、どんな数がBとなりうるか考えます。
このとき１は作れませんから、70より小さい整数の中には作れないものがある
という条件は自動的に満たすので、あとは７０以上がすべて合成できればいい訳です。
また互いに素ではないコンビは、たとえば６と９は3の倍数以外生成できないので
除かれます。
じっさいにいくつかの数でやってみると経験法則的にわかるのですが
(A-1)*(B-1)以上の数は、合成できることがわかります。
また、簡単に証明できます。
ですから、Aが３ならBは2,4,5,7,8,11,13,14,16,・・・,31,32,35
とあとは数え上げるだけです。
大変だと思うかもしれませんが、Aが１３以上になるとBの候補は偶数のみになりますし
(A-1)*(B-1)が70を超えるともう勘定しなくていいので、そうでもないです。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
ご説明をもとにして、いろいろ書き出して答えに行き着き、
ホッとしています。

お礼日時：2009/07/04 01:23

No.3 回答者： USB99 回答日時： 2009/07/03 21:17

＃２さんと一緒ですが、でもとんでもない組みあわせの数ですね．．

簡単にするため、Ａ＜Ｂとし、作りたい数をｎとすると
Ａ＝２の時、ｎが偶数ならＡだけの倍数でつくれます。
　　　　　　ｎが奇数なら、Ｂが奇数ならｎーＢは偶数なので残りはＡ
　　　　　　　　の倍数で作れます。よって、nーＢは正であればよく
　　　　　　　　n＝７０の時、Ｂは３、５、７．．、６９まで可。
Ａ＝３の時、ＡとＢが互いに素であれば、ｎ、ｎーＢ、ｎー２Ｂの
　　　　　　　　どれかはＡ（＝３）で割り切れるはずです。よって、
　　　　　　　　ｎー２Ｂが正もしくは０であればいいのです。
　　　　　　　　ｎ＝７０の時、７０ー２Ｂ＞＝０
　　　　　　　　すわなち３５＞＝Ｂ．．Ｂ＝４、５、．．．３５
Ａ＝５の時、ＡとＢが互いに素であれば、ｎ、ｎーＢ、ｎー２Ｂ、
　　　　　　　　ｎ－３Ｂ、ｎー４Ｂのいづれかは５で割り切れるはず
　　　　　　　　よって、ｎー４Ｂ＞＝０であればいい。ｎ＝７０で
　　　　　　　　７０＞＝４Ｂ　．．Ｂ＝６、７、．．１７
．．という事を＃２さんは言いたいのだと思います。
実際は、ＡとＢは逆もあるのでこの倍の組み合わせがあるので、とても大変．．