整数問題

ｘ^2-mnx+m+n=0 のすべての解が整数となるとき、このような２次方程式をすべて求めよ。ただし、m,nは自然数。
　この問題を解の公式、判別式等を用いての解法があったら教えてください。

No.1 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2009/07/10 15:25

2つの解をα、βとすると、解と係数から、α＋β＝mn　‥‥(1)、αβ＝m+n　‥‥(2)

(1)と(2)から、（α-1）*（β-1）＋（m-1）*（n-1）＝2　‥‥(3).
mとnは自然数より、2解の和も積も正から、2解共に正の整数である。
従って、(3)が成立するのは、（α-1）*（β-1）＝（m-1）*（n-1）＝1の場合のみ。

この続きくらいは、自分で、やって。

この回答への補足

別解はないでしょうか。解の公式、判別式を用いた解法は？。

補足日時：2009/07/10 15:42

No.2 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2009/07/10 15:29

ミスった。

（誤）従って、(3)が成立するのは、（α-1）*（β-1）＝（m-1）*（n-1）＝1の場合のみ

（正）従って、(3)が成立するのは、Ａ＝（α-1）*（β-1）、Ｂ＝（m-1）*（n-1）とすると、（Ａ、Ｂ）＝（1、1）、（2、0）、（0、2）の3通り。

この回答への補足

解と係数の関係からでなく、解の公式、判別式を用いた方法はないでしょうか。

補足日時：2009/07/10 15:38

No.3 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2009/07/10 16:08

＞解の公式、判別式を用いた方法はないでしょうか。

あまり、気が進まないが。。。。　面倒な事が嫌いなんでね。Ｗ
考えられるのは、以下の方法だが。。。。。

条件から、判別式＝（mn）＾2-（m+n）＾2＝k＾2、‥‥(1)（kは0以上の整数）にならなければならない。
従って、（mn＋m+n）（mn-m-n）＝k＾2　であり、mn＋m+n＞mn-m-n　であるから。。。。と、ここまでは良いが、ここから先をどうするか？

(1)を（mn+k）*（mn-k）＝（m+n）＾2　としても　さほどの意味もないようだし？

No.4 回答者： haberi 回答日時： 2009/07/10 16:31

解の公式のルートのなかはm^2*n^2-4m-4nでしょ。

そこに＃１さんの書いたようにmn=α+β、m+n=αβを代入したら・・・

No.5 回答者： bgm38489 回答日時： 2009/07/10 20:54

解の公式を用いるということは―

全ての解が整数。まず、全ての解が有理数であるためには、平方根が整理されなければいけない。即ち、平方根内が平方完成されるということ。後、整数であるためには、即ち分数でないためには、解の公式でｘの係数が偶数の場合は、a分のとできた。この方程式のx^2の係数は１．即ち、ｘの係数が偶数なら―