直線上に分布した電場による電場

単位長さあたりの電荷量がλの無限に長い直線上の電荷を真空中に置いた。
直線上電荷からrだけ離れた位置の電界の大きさＥを求めよ。（ただし真空の誘電率をε0とする）
という問題なのですが。
ガウスの法則では求めることができました。
1/4πε0∫λdl/r^2と計算したらうまくできませんでした。
∫dlの線積分のところを半径rの円周の長さと線密度が一定と考えて
∫dl＝2πrとしました。
どう計算すればいいのでしょうか？
回答お願いします。

No.1 回答者： yokkun831 回答日時： 2009/12/17 21:53

>∫dlの線積分のところを半径rの円周の長さと線密度が一定と考えて

ｒを一定としたのがまずかったのです。このｒは変化するｄｌの位置によって変わらなければなりません。無限長にわたって微小長さｄｌの寄与を加えるのですよ！　もとはといえば，直線からの距離ｒをｄｌからの距離と混同したことが間違いのもとです。

直線電荷をｘ軸上とします。y軸上(0,r)の電場を求めましょう。
位置ｘにある微小長さｄｘの寄与は
dE = λ/(4πε0)dx/(r^2+x^2)×r/√(r^2+x^2)
これを-∞<x<∞で積分します。
x = r tanθとおけば，dx = r/cos^2θdθで
E = λ/(4πε0r)∫[-π/2～π/2]cosθdθ = λ/(2πε0r)
を得ます。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
おかげ理解出来ました。

お礼日時：2009/12/17 23:40