因数分解の問題なのですが解けません。（高校入試レベル）

この問題で悩んでいます。
　N=n^4-5n^3+6n^2-105n+441を考える。次の問いに答えなさい。
　n+(21/n)=t　とおくとき、N/n^2をtの二次式で表せ。

という問題なのですが、さっぱりわかりません。ずっと悩んでます。
この答えとその答えの出し方を教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： okormazd 回答日時： 2009/12/30 12:09

N/n^2=n^2-5n+6-105/n+441/n^2

tの2次式で表せというから、t^2をつくると、
t^2=n^2+42+441/n^2
これで、n^2と441/n^2は表せる。残りは-5n+6-105/nだから、
-5tを作れば、
-5t=-5n-105/n
がでる。
あとは定数を合わせるだけだけど、それは自分で。

この回答へのお礼

やっとわかりました！ということは答えはt^2-5t-36ですか！
すっきりしました。まずt^2を作ってみるということを考えればよかったのですね

お礼日時：2009/12/30 12:25

No.2 回答者： tra_tata 回答日時： 2009/12/30 12:19

N/(n^2)=n^2-5n+6-105/n+441/(n^2)　…(1)

を変形していけば答えはすぐに出ます。

(1)を3つの要素に分解できるかがポイントでしょう。

n^2+441/(n^2) …(2)
-5n-105/n　　…(3)
+6　　　　　　…(4)

と置くと、(1)=(2)+(3)+(4)

==================================================
ここで、
　(1)=(n+21/n)^2-42
　　 =t^2-42

　(2)=-5(n+21/n)
　　 =-5t
なので、
(1)=(2)+(3)+(4)=t^2-42-5t+6
　 =t^2-5t-36

この回答へのお礼

回答ありがとうございます
(n+21/n)と定数で各部分を作っていけばよいのですね
わかりやすいです。

お礼日時：2009/12/30 12:28

No.3 回答者： asuncion 回答日時： 2009/12/30 12:24

n+(21/n)=t の両辺を2乗して、

n^2+42+(441/(n^2))=t^2

N/(n^2)=n^2-5n+6-(105/n)+(441/(n^2))
=n^2+42+(441/(n^2))-5n-(105/n)-36
=t^2-5(n+(21/n))-36
=t^2-5t-36

No.4 回答者： st_comp 回答日時： 2009/12/30 12:24

私も分からなかったんですが、近そうなところまで行ったので一時回答とさせてください。

n+(21/n)=tとおくとのことですが、非常に中途半端な数字ですね。整理すると、nt=(n^2+21)となります。
N=n^4-5n^3+6n^2-105n+441という式が最初に示されていますが、105も441も21の倍数ですから、何かに使えそうです。
N/n^2をtの二次式で表せというのが問題文ですが、ようはNをn^2を含むtの二次式で表せということではないかと読み替えます。そうすると、まずNをnt=nt=(n^2+21)を使って何とかしてみようという方向性が立つと思います。

N=(n^2+21)^2-42n^2+6n^2-5n(n^2+21)という方向性は立ちました。

ただ、これを変換しても、N/n^2=t^2-5nt-36となり、右辺にnが残ってしまいます。ちょっと汚いですね。