y=ax^2+bx+cにおいて、a,b,cの値を求める問題

おそらく、二次関数の根本的な意味理解が不足しているため、下記の問題の解説が理解できません。よろしければご教授ください。

問題
y=ax^2+bx+cのグラフは（4,-4）を通り、x=2のとき最大値8をとる。このときa,b,cの値を求めよ。

解説

yがx=2のとき最大値8をとることから、この２次関数の頂点は(2,8)である。
よって
y=a(x-2)^2+8
と表せる。これが、点(4,-4)を通る事から、
-4=a(4-2)^2+8
よってa=-3
y=-3(x-2)^2+8より
y=-3x^2+12x-4
これが、
y=ax^2+bx+cと同じだから、
a=-3,b=12,c=-4

わからない部分
まず、解説の１行目の「yがx=2のとき最大値8をとることから、この２次関数の頂点は(2,8)である。」がいまいちしっくり来ません。「最大値」ということは「これ以上の値は無い」=「頂点」と理解するのでしょうか？

また、これをもとに
y=a(x-2)^2+8

と導きだしているところがよくわかりません。なぜa(x-2)^2なのでしょうか？

基礎的な部分があやふやなまま解法のパターンを叩き込む学習をしているからこのような疑問を持ってしまうのだと思います。本当は、基礎をきちんと勉強して積み上げて行くことが必要だとは思うのですが、時間がないために無理矢理勉強をすすめているというところです。よろしく御願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/01/04 21:58

少し分割して考えてみましょう。

＞「最大値」ということは「これ以上の値は無い」=「頂点」と理解するのでしょうか？
そのとおりなのですが、もう少し分けて考えると
・「最大値をとる」ということは、グラフの形は上に凸（山型）、下に凸（谷型）のどちらになりますか？
グラフの形がわかると、x^2の係数（aの値）が正か負かがわかります。
・そして、最大値をとる点は頂点になります。

計算には直接関係ないかもしれませんが、
グラフの形がイメージできるとだいぶわかりやすいと思います。


＞なぜa(x-2)^2なのでしょうか？
頂点とは、「軸」のところにありますよね。（このことはきちんと学習しておいてください。）
すると、軸は x= 2であるとわかります。
そして、x^2の係数が aですので、a(x-2)^2となります。

少し違った見方をすると、
a(x-2)^2+ 8で、上の内容から aは負であることがわかります。
つまり、8からどれだけ引いているかという式になっています。
引く数がもっとも小さくなるのは x= 2のときで、最大値 8をとることになります。

まずは、グラフの形と表す式について、教科書をしっかり見るようにしてください。
これからもあちこちで出てくると思いますので。

この回答への補足

ご回答をくださったお二人にあらためて感謝を申し上げます。

あれからネット上でグラフの基本について書かれているページを探しまくって、、お二人のおっしゃるようにグラフをイメージしながらやってみました。

私が引っかかっていたのは、「最大値」という言葉と、y=a(x-p)+qの形でした。前者は言葉の問題として、多角的に知識を得ることで納得に近づけました。後者については、これはグラフの問題を行う上で土台となる基礎的な知識であることがわかりました。

直接的に解決に結びついたのは、自分で調べたことではありましたが、お二人にはそれを後押ししてくださったと思います。

ありがとうございました。

補足日時：2010/01/05 13:03

この回答へのお礼

丁寧に解説していただきありがとうございました。

a=-3ということから、グラフは下に開いた形（凸型）であると考えました。頂点が軸であるということは理解できます。

やはり教科書になるような参考書が必要ですね。ご回答ありがとうございました。

お礼日時：2010/01/04 23:17

No.1 回答者： sotom 回答日時： 2010/01/04 21:47

あれこれ考える前に、グラフを描きましょう。

頭で考えるだけ時間の無駄です。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

ご指摘の通りグラフを想像してみることにします。

お礼日時：2010/01/04 22:49