1+3x+5x^2+…+(2n-1)x^(n-1)を求めるについて
Sn=1+3x+5x^2+…+(2n-1)x^(n-1)
Snにxをかけると
xSn=x+3x^2…+(2n-3)n^(n-1)+(2n-1)X^n
について分からない点があって、
xをかけると(2n-3)n^(n-1)+(2n-1)X^n
になる?のかがわかりません。
x+3x^2まではわかるのですが
それから、
Sn-xSnは
(1-x)Sn=1+2x+2x^2+…+(2x^(n-1))-(2n-1)X^n
…(1)
になるそうですが、
xキ1のとき
(1)から
Sn=1+2x+2x^2+…+(2x^(n-1))-(2n-1)X^n/(1-x)
から
1+x-(2n+1)x^n+(2n-1)X^(n+1)/(1-x)^2
になる方法がわかりません
そして
x=1のとき
(1)から
Sn=1+3+…+(2n-1)=n^2
のときに1+3まではわかるのですが
(2n-1)がわかりません。
そして、計算するとn^2
になるのかが???
すいません。
詳しくお願いします
A 回答 (5件)
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No.5
- 回答日時:
補足を見た感じでは、どうやら文字で置く、ってのがいまいち理解し難いみたいですね。
Sn=1+3x+5x^2+7x^3+・・・+(2n-3)x^(n-2)+(2n-1)x^(n-1)
右辺の"+"の部分は無視して、
1,3x,5x^2,7x^3,9x^4,・・・,(2n-3)x^2(n-2),(2n-1)x^(n-1)
という風に並べてみましょう。
この数列のn番目がいくつになるかを考えてみましょう。
結論から言うと、n番目は(2n-1)x^(n-1)になります。
もの凄く簡単に説明すると、1番目が"1",2番目が"3x",3番目が"5x^2",4番目が"7x^3",・・・という感じで考えていくと、n番目は(2n-1)x^(n-1)になるのです。
たぶん、この"n番目"ってのがいまいち分からないのでしょう。
「1番目は1」
「2番目は3x」
「3番目は5x^2」
「4番目は7x^3」
「5番目は・・・
と言っていたら、きりがありません。
何ならかの規則性があるのだから、
○番目の数はいくつだろうなぁ、と思ったら、
何かの式に○を代入しただけで、○番目の数が求まったら便利だなぁ。でも、数学なのに、○とか使ってたら、カッコ悪いなぁ。
と、いうことで、
n番目の数を"nの式"で表すことにしました。
で、求まったのが、
(2n-1)x^(n-1)
確かに、n=1,2,3,4を代入すると、1,3x,5x^2,7x^3となります。
>後ろの項の意味というか考えかたがわかりません。
別に難しく考える必要はありません。
(2n-1)x^(n-1)
のnには何かの自然数を代入するのだから、
例えば、3x^2とか、x^6とか、2x^3など、そういうのと、同じ様に考えればいいのです。
ただ、最後の項は何も意味してないわけではなく、
(2k-1)x^(k-1)にいくつを代入すると、(2n-1)x^(n-1)になるかというと、k=nを代入した時です。
ということは、最後の項はn番目の項。つまりは、全部でn項足している、ということも意味してます。
No.4
- 回答日時:
#3fushigichanです。
>xSn=x+3x^2…+(2n-3)n^(n-1)+(2n-1)X^n
について分からない点があって、
xをかけると(2n-3)n^(n-1)+(2n-1)X^n
になる?のかがわかりません。
えっと、まず、一番最初のSnというのが、
Sn=1+3x+5x^2+7x^3+・・・+(2n-3)x^(n-2)+(2n-1)x^(n-1)
なので、(奇数)×xの○乗
という形の和になっていますよね。
1*x^0+3*x+5*x^2・・・
と言う風に、xの係数が、1,3,5,7,・・・と奇数で大きくなっていっています。
xの0乗の係数は1
xの係数は3
xの2乗の係数は5
xの3乗の係数は7
・・・・
xの(n-2)乗の係数は(2n-3)
xの(n-1)乗の係数は(2n-1)
----------------------------全部足すと
Sn になっている
のようになっていることに注意してください。
Snというのは、それぞれを足した数列ですよね。
では、そのSnをx倍してみると、
定数項はなくなり、
xの係数が1
xの2乗の係数が3
xの3乗の係数が5
・・・・・
xの(n-1)乗の係数が(2n-3)
xのn乗の係数が(2n-1)
---------------------------全部足すと
xSn になっている
となりますね。だから、最後のほうで
・・・+(2n-3)x^(n-1)+(2n-1)x^n
という部分が出てくるんですね。
ここのところ、自分で紙に書いてみると、なるほど、と
分かりやすいと思います。
頑張ってくださいね!!
この回答への補足
なんどもすいません。
言っているとき方はわかります。
ただ文字式が苦手で。
解き方でも一般項の求め方がわかりません。
例えば
Sn=1+3x+5x^2+7x^3+・・・+(2n-3)x^(n-2)+(2n-1)x^(n-1)
係数は1,3,5,7と2つずつ増えているのはわかります。
しかし、
Sn=1+3x+5x^2+7x^3+・・・+(2n-3)x^(n-2)+(2n-1)x^(n-1)
にある、後ろの項の意味というか考えかたがわかりません。
どうやって、わかるのですか?
話が通じるといいのですが。
後ろの
+(2n-3)x^(n-2)+(2n-1)x^(n-1)
がわからないです。
数字だけだとわかるのですが。
No.3
- 回答日時:
kami245さん、こんにちは。
>Sn=1+3x+5x^2+…+(2n-1)x^(n-1)
Snにxをかけると
xSn=x+3x^2…+(2n-3)n^(n-1)+(2n-1)X^n
Sn=1+3x+5x^2+・・・+(2n-3)x^(n-2)+(2n-1)x^(n-1)
xSn= x+3x^2+・・・・・・・・・・+(2n-3)x^(n-1)+(2n-1)x^n
----------------------------------------------------------上から下を引く
(1-x)Sn=1+2x+2x^2+・・・・・・・+2x^(n-1)-(2n-1)x^n・・・(1)
となります。xの次数を同じにするため、一つずつ、ずらして書いています。
すると、上から下をみてみると、x,x^2,x^3・・・の係数はどれも2づつ差がありますね。
1-x≠0のとき、
また、(1)は途中まで等比数列の和になっています。
2x+・・+2x^(n-1)の部分までです。
ここは、
初項2x、公比x、項数n-1個の等比数列の和なので
2x{1-x^(n-1)}/(1-x)
最後に1-(2n-1)x^nだけが残るので、
(1-x)Sn=1 +2x{1-x^(n-1)}/(1-x) -(2n-1)x^n
両辺を(1-x)で割ると
Sn=1/(1-x) +2x{1-x^(n-1)}/(1-x)^2 -(2n-1)x^n/(1-x)
分母を、(1-x)^2に統一しましょう。
分子={1/(1-x)^2}×{(1-x)+2x{1-x^(n-1)}-(2n-1)x^n(1-x)}
=1+x-2x^n-(2n-1)x^n-(2n-1)x^(n+1)
=1+x-(2n+1)x^n+(2n-1)x^(n+1)
Sn={1+x-(2n+1)x^n+(2n-1)x^(n+1)}/(1-x)^2
じゃないでしょうか。
1-x=0のとき、x=1ですから
Sn=1+3+5+・・+(2n-1)
↑
奇数のn個の和
奇数はa[k]=2k-1
とかけるので、
Sn=Σ[k=1to n](2k-1)
=Σ2k-Σ1
=n(n+1) -n=n^2+n-n=n^2
となります。ご参考になればうれしいです。頑張ってください。
この回答への補足
詳しくありがとうございます
xSn=x+3x^2…+(2n-3)n^(n-1)+(2n-1)X^n
について分からない点があって、
xをかけると(2n-3)n^(n-1)+(2n-1)X^n
になる?のかがわかりません。
No.2
- 回答日時:
回答はすでに出ていますけど、参考程度に
>Sn=1+3x+5x^2+…+(2n-1)x^(n-1)
Snにxをかけると
xSn=x+3x^2…+(2n-3)n^(n-1)+(2n-1)X^n
について分からない点があって、
xをかけると(2n-3)n^(n-1)+(2n-1)X^n
になる?のかがわかりません。
☆これはわからなくていいんです。誤記ですから。
正しくは
xSn=x+3x^2…+(2n-3)x^(n-1)+(2n-1)x^n
>Sn={1+2x+2x^2+…+(2x^(n-1))-(2n-1)x^n}/(1-x)
から
1+x-(2n+1)x^n+(2n-1)x^(n+1)/(1-x)^2
になる方法がわかりません
1/(1-x)=1+x+x^2+…+x^(n-1)+x^n
という関係式を使えば、
{2+2x+2x^2+…+(2x^(n-1)}={2/(1-x)}-1-2x^n
{{2/(1-x)}-1-2X^n}/(1-x)={2-(1+2x^n)(1-x)}/(1-x)^2
={1+x-2x^n+2x^n+1}/(1-x)^2
Sn={1+x-2x^n+2x^n+1}/(1-x)^2 -{(2n-1)x^n}/(1-x)
={{1+x-2x^n+2x^n+1} -(1-x){(2n-1)x^n}}/(1-x)^2
={1+x-(2n+1)x^n+(2n-1)x^(n+1)}/(1-x)^2
になりますね。
Sn=1+3x+5x^2+…+(2n-1)x^(n-1)
にx=1 を入れると、
Sn=1+3*1+5*1^2+…+(2n-1)*1^(n-1)
Sn=1+3+…+(2n-1)
これは奇数の足し算ですね。
1+3+5=9=3^2
1+3+5+7=16=4^2
1+3+…+(2n-1)=n^2
ということでしょうかね。
No.1
- 回答日時:
>xをかけると(2n-3)n^(n-1)+(2n-1)X^n
>になる?のかがわかりません。
おそらく、難しく考えすぎてるのでしょう。
a[n]=(2n-1)x^(n-1)とすると、x*a[n]=(2n-1)x^nとなるのは分かりますね?
Sn
=1+3x+5x^2+…+(2n-1)x^(n-1)
=Σ[k=1 to n]a[n]
となるから、
x*Sn
=x*Σ[k=1 to n]a[n]
=Σ[k=1 to n]{x*a[n]}
=Σ[k=1 to n]{(2k-1)x^k}
=x+3x^2+5x^3+・・・+(2n-3)x^(n-1)+(2n-1)x^n
となります。
>1+x-(2n+1)x^n+(2n-1)X^(n+1)/(1-x)^2
>になる方法がわかりません
(1)から、
(1-x)Sn=1+2x+2x^2+…+(2x^(n-1))-(2n-1)X^n
という式が出ました。この右辺の
2x+2x^2+…+(2x^(n-1))
の部分だけに注目すると、これは、初項が2xで、公比がxの等比数列ですね。全部でn-1項足してて、公比x≠1だから、
2x+2x^2+…+(2x^(n-1))
=2x{1-x^n}/(1-x)
となります。だから、(1)の式を変形すると、
(1-x)Sn
=1+{2x+2x^2+…+(2x^(n-1))}-(2n-1)x^n
=1+{2x(1-x^n)/(1-x)}-(2n-1)x^n
∴(1-x)Sn=1+[2x{1-x^(n-1)}/(1-x)]-(2n-1)x^n
両辺を1-x≠0で割ると
Sn={1/(1-x)}+[2x{1-x^(n-1)}/(1-x)^2]-{(2n-1)x^n/(1-x)}
右辺を(1-x)^2で通分すると、
Sn={1+x-(2n+1)x^n+(2n-1)x^(n+1)}/(1-x)^2
となります。
>(2n-1)がわかりません。
先ほど、a[n]=(2n-1)x^nとおきました。
x=1だから、a[n]=(2n-1)1^n=2n-1
となります。
n^2になる理由ですが、
1+3+5+・・・+2n-1とn個の奇数を足すと、n^2になることを知っていれば、それでいいのですが、それを知らなくても、
Sn
=Σ[k=1 to n]a[k]
=Σ[k=1 to n](2k-1)
=2Σ[k=1 to n]k-Σ[k=1 to n]1
を計算すれば、n^2が求まります。
この回答への補足
ありがとうございます
<a[n]=(2n-1)x^(n-1)とすると、x*a[n]=(2n-1)x^nとなるのは分かりますね?
わかりません。。
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