微分、積分について

２点、ご質問させていただきます。

（１）dy/dx = lim[Δx→0] (x + Δx)^3 - x^3 / Δx

という式があり、解をみると、分母は消えているのですが。
分母にくる Δx は、0になっているわけではないですよね？

限りなく小さいということで、解には残っていないのでしょうか。

（２）∫[b→a] f(x) dx = [F(x)][b→a] = F(b) - F(a)

という、定積分の公式がありますが、 dx はどのような意味があり、
なくなってしまうのはなぜなのでしょうか。

とんちんかんな質問ですいません。
どなたか教えていただけると幸いです。

No.2 ベストアンサー 回答者： proto 回答日時： 2010/02/01 22:04

＞分母にくる Δx は、0になっているわけではないですよね？

＞限りなく小さいということで、解には残っていないのでしょうか。

limの意味を正しく理解しましょう。
　　lim[x→a]{f(x)} = α
と書いたときの意味は、
　　『xがaに近づくと、f(x)はαに"限りなく近づく"』
と言うことです。f(x)がαに"なる"とは言っていません。

逆にf(x)がαに等しくならなくても、限りなく近づいていくならば
　　lim[x→a]{f(x)} = α
と書いて間違いありません。

それを踏まえて、例えば
　　lim[Δx→0]{2+3*Δx}
を考えてみましょう。
Δxが0に近づくと、2+3*Δxはどんどん2に近い値になっていきますね。
あなたの仰るとおりΔxが0になるわけではないので、2+3*Δxも2に等しくはなりませんね。
しかし、等しくはなりませんが2に限りなく近くはなりますね。
この等しくはならないけれど"限りなく近くなる"ということを式で書くと、
　　lim[Δx→0]{2+3*Δx} = 2
と書くことになります。

近づいていく先はあくまでも2であり、2+3*Δxに近づいていくわけではないので、limの式の右辺にΔxは残りません。
例えて言うなら右辺が示すものは行き先です。近づく仮定のΔxに関わらず行き先は一つに決まっています。

何度も書きますが、2+3*Δxが、2に"なる"という意味ではありません。


＞∫[b→a] f(x) dx = [F(x)][b→a] = F(b) - F(a)
＞という、定積分の公式がありますが、 dx はどのような意味があり、
＞なくなってしまうのはなぜなのでしょうか。
定積分の意味として一番理解しやすいのは、∫[b→a]{f(x)}dxは曲線y=f(x)とx軸とで囲まれた図形のx=bからaまでの面積を表すというものでしょう。

具体的に曲線y=f(x)とx軸とで囲まれる面積を求める方法として"区分求積法"というものがあります。
"区分求積法"は求める面積を、幅が微小なたくさんの帯に分割してそれらの面積を足し合わせることで求める、というものです。
(詳しくは区分求積法を調べてください)

　　∫[b→a]{f(x)}dx
の意味を一つずつ解説してみましょう。
まず、区間"[b→a]"はそのままx=bからx=aまでの範囲で考えるということですね。
インテグラル"∫"は級数の記号"Σ"が変化した物で、たくさんの帯の面積を足し合わせるという意味です。

f(x)dxは微小幅の帯の面積を表しています。面積の求め方の基本は「底辺×高さ」ですね。
f(x)が高さを表します。底辺の長さがdxです。微小な幅という意味でdxという記号を使います。
f(x)とdxを掛け合わせて、微小幅の帯の面積を表します。
このような帯の面積を∫の記号で足し合わせると、それが求める面積でありf(x)の定積分であるということなのです。

dxが消えてしまうわけではありません。
f(x)がF(x)に変わるのではなく、f(x)dxがF(x)に変わるのです。


ではなぜ区分求積法で面積を求めるはずが、原始関数を求めて引き算することで計算できるかというと、これは「微分積分学の基本定理」という立派な名前が付いていて、大学1年生くらいになれば証明することもできます。
厳密ではありませんが、高校3年生くらいの知識で説明することも出来ます。
とにかく微分積分学の基本定理について勉強してもらえれば分かるでしょう。
区分求積法と原始関数を結びつける定理が微分積分学の基本定理なのです。

そして、区分求積法と原始関数の深い関わりを示す式、それが
　　∫[b→a] f(x) dx = [F(x)][b→a] = F(b) - F(a)
なのです。

No.1 回答者： LightOKOK 回答日時： 2010/02/01 20:09

(1)

分子の計算をすると、
(x + Δx)^3 - x^3
=x^3+3x^2Δx+3x(Δx)^2+(Δx)^3-x^3
=3x^2Δx+3x(Δx)^2+(Δx)^3

で、すべての項に、Δx　が付いていますから、くくり出すと
(Δx){3x^2+3x(Δx)+(Δx)^2}
となり、分母のΔx　と約分で消えます。それで、結果として分母から
なくなります。

>分母にくる Δx は、0になっているわけではないですよね
分母に、Δx　がある段階では、Δx→0　にしても、極限値が
求まらないので、約分で消してから、Δx→0　を考えます。

（２）
「dx」は、Δx　の極限状態のものとでも考えていいのではない
でしょうか。Δx　はまだ微少で有限なものを表しています。
定積分の式、lim[n→∞]Σ[k=1,n]f(x)Δx　でのΔxが、dx　に
対応しています。

定積分では、limΣ　で出す方法と、不定積分（原始関数）から求める方法がありますが、
結果が同じになるので、原始関数が求まるときは、簡単なこちらの方法をとります。