この証明は間違いですか・・・？

【問】
次の命題を証明せよ。
整数aについて、a^2が奇数ならばaは奇数である。

模試でこれを解いたのですが、不正解になりました。
模範解答は別の証明の仕方だったので、どこが間違っているのかわかりません。教えてください。

aが偶数であると仮定する。すると、aは自然数nを使って、
a=2nと表せる。
a^2=(2n)^2だから、
a^2=4a^2
a^2=2(2a^2)となり、a^2は奇数であると言うことに矛盾する。
よってa^2が奇数ならばaは奇数である。

と書いたのですが・・・

No.1 回答者： gamasan 回答日時： 2003/06/29 18:53

a^2=(2n)^2だから、

から　

a^2=4a^2

で　なんでｎが消えてるの？（笑）

この回答への補足

すいません、タイプミスです。

a^2=4n^2
a^2=2(2n^2)となり、a^2は奇数であると言うことに矛盾する。
よってa^2が奇数ならばaは奇数である。

補足日時：2003/06/29 18:55

No.2 ベストアンサー 回答者： Singollo 回答日時： 2003/06/29 18:56

まず、3行目から4行目で右辺のｎがaに変わってしまっています

またこれをnに直したとしても、5行目までに証明できたのは、『aが偶数ならa^2も偶数である』ということに過ぎず、『a^2は奇数である』は、そこまでのどこにも前提されていませんので矛盾もしません
5行目で展開すべきだったのは、「『a^2は奇数である』に矛盾する」ではなく「『aが偶数ならa^2も偶数である』の対偶であるから『a^2が奇数ならaも奇数』」ということだと思います

この回答へのお礼

ありがとうございます。
やはり対偶で証明するべきなんですね。
これを背理法で証明することはできるんでしょうか？

お礼日時：2003/06/29 19:01

No.3 回答者： gamasan 回答日時： 2003/06/29 19:03

あ　代入したのか　失敬

問題は　奇数の２乗ですから

ａ＝（2ｎ+1）^2は奇数であるを証明するんじゃ？

偶数の２乗は奇数でないという問題じゃないでしょ

No.4 回答者： Singollo 回答日時： 2003/06/29 19:09

> これを背理法で証明することはできるんでしょうか

1行目の『aが偶数であると仮定する』を『「aが偶数で、かつ、a^2が奇数である」と仮定する』に変更すれば可能だと思います

No.5 回答者： liar_adan 回答日時： 2003/06/29 19:13

aとnの取り違えで×になったのかと思ったけれど、

答案ではちゃんと書いてたというなら、
この答でいいと思いますよ。
私ならマルつけます。（一時期、数学教師をやってました）

定理の証明で「AならばBを証明せよ」というとき、
A(この場合は「a^2は奇数」)を暗黙に仮定するのは許容範囲だと思います。
書いておいた方は親切だけど…。

私が証明してもこんなやりかたになります。
というより、その「別の証明の仕方」というのが想像できないのですが。
よろしければそれも書いてください。

No.6 回答者： noname#24477 回答日時： 2003/06/29 19:19

どこまで厳密に証明できるかですが

まず整数は偶数か奇数かのどちらかである。（ここまで
言うことは普通はいらないと思います。）

ａが偶数と仮定するとｎを自然数として・・・
問題が「整数ａ」と言っているならｎも整数としたほうが
良いかも。

あなたの解答ではａが偶数なら不適である、と言っただけで
奇数なら適するのかは言っていません。奇数も不適になって
適する数はない、という結論になるかも知れません。
奇数の２乗は奇数、と言うことも言ったほうが良くないかな。

そんなことはわかりきっていると言われればそれまでですが
もともとの問題がそんなことわかりきっているということの
証明ですから。

No.7 回答者： waseda2003 回答日時： 2003/06/29 20:19

＃１の補足にある通りに

a^2=4n^2
a^2=2(2n^2)
と正しく書いたなら，（「背理法で証明する」と宣言していないこととnを自然数としているのはご愛嬌だとして）背理法の証明としてはほぼ正解だと思います。

模試の採点に携わった経験から，この場合３つの可能性が考えられます。

（１）背理法で示すか，対偶で示すかを明記していないため，本人への反省を促すために厳しめに採点した。
この場合は，部分点がついているはずです。

（２）単純に採点ミス。
いくら不十分と判断しても，ここまで書けていて０点ということはないはずです。０点とされていたら採点ミスの可能性が高いと思われます。

（３）実は正解。
模試によっては，正解の場合はマルも何もつけずに点数だけつける流儀をとることがあります。点数欄で，この部分が何点になっているか，確かめてみて下さい。

なお，＃２の補足を読むと，h-stormさんに理解が不十分な点があったとも受け取れますが，採点は答案に書かれてあることだけで判断されますので，そのことは影響しません。

今回のことはいい勉強になったと思って，今後の学習に活かそうと前向きに考えた方が良いと思います。

No.8 回答者： noname#24477 回答日時： 2003/06/29 21:54

前に書いたとおりですがきちんとかいてみます。

整数は偶数か奇数のどちらかである。
(1)整数ａが偶数ならば　
ａ＝２ｋ（ただしｋは整数）とおける。
a^2=(2k)^2=4k^2=2(2k^2)
となってa^2は偶数

(2)整数ａが奇数ならば　
a=2k+1，（ただしｋは整数）とおける。
a^2=(2k+1)^2=2(2k^2+2k)+1
となってa^2は奇数。

（１）（２）より　a^2が奇数ならばaは奇数

（１）が必要なのと同じくらい（２）も必要です。
単純に「偶数でなければ奇数」ではだめです。

たとえばこんな例はどうでしょ

ｘ＾２＜０ならばｘ＜０である。
証明　実数はｘ≧０かｘ＜０のどちらかである。
ｘ≧０とするとx^2≧０よってｘ＜０
もちろんこの証明はまちがいです。

あなたの証明ではこれと同じことです。

模範解答は別だということですがどんな解答でしょう？
私も模試の「模範解答」が知りたい。


なお補足に書いてある対偶を使って証明するのは
背理法（の１つ）です。別物ではありません。

No.9 回答者： liar_adan 回答日時： 2003/06/29 22:41

議論をするのはよくないのですが、

＃８さんの(2)は、私はいらないと思います。

その例に出した

＞ｘ＾２＜０ならばｘ＜０である。
＞証明　実数はｘ≧０かｘ＜０のどちらかである。
＞ｘ≧０とするとx^2≧０よってｘ＜０

「ｘは実数として」が抜けていますが、それを補って読めば、証明として正しい。
ちゃんと成立しています。

もちろん、同様な手法で
「ｘ＾２＜０ならばｘ≧０である。」
も言えます。
同じ前提からまったく逆の結論が出るわけですが、
前提が矛盾を含んでいるためにこうなるのであって、
証明過程としては破綻がありません。

今回の問題を図で示せば

「aは偶数」→「a^2は偶数」

「aは奇数」→「a^2は奇数」

が容易にわかるとして、
「aは奇数」←「a^2は奇数」
を証明せよという状況です。

対偶を使って証明してみましょう。
「『aは偶数』ではない」≡「aは奇数」
「『a^2は偶数』ではない」≡「a^2は奇数」
を認めれば、
「aは偶数」→「a^2は偶数」
の対偶として
「aは奇数」←「a^2は奇数」
が出ます。
ここで
「aは奇数」→「a^2は奇数」
の関係は使っていません。

問題があるとすれば
「『aは偶数』ではない」≡「aは奇数」
「『a^2は偶数』ではない」≡「a^2は奇数」
の説明が不足していた(許容範囲だと思うんだけどねえ)ことでしょうか。

No.10 回答者： noname#24477 回答日時： 2003/06/29 23:42

議論するのは別に嫌いでもないのでかまいませんが・・・

確かに今回は私のほうが分が悪いかな。

問題文が書いてあるとおりならそうですね。
ただ問題を考えるときに
「（a^2が奇数）の解集合は（奇数全体）である。」
と考えていたものですから。出題もそういう意識だと思います。
「ならば」というのが同値関係ですね。
それを完全に誤解のない問題文にしようとすればけっこう
面倒な気がします。
最後の悪あがきです。

例としてあげたものも
x^2<0の解集合は？という問題の解答として適切か？
ということです。
ならばというのを前提としてとればあなたのおっしゃる
とおりです。