∫(ax^n + b)^α dxに対する不定積分の公式を探しています

∫(ax^n + b)^α dxに対する不定積分の公式を探しています

本には
∫(ax + b)^α dx
= {(ax + b)^(α+1)} / {a(α+1)} + C　　　(a≠0)
という、xが1次の場合の不定積分の公式は載っています。具体的には
∫(2x + 1)^2 dx
= {(2x + 1)^3} / {2(3)} + C
みたいなのですね。

ただ、
∫(ax^n + b)^α dx
のように、xの次数が高い場合は載っていません。
ネットで検索しても見つかりません。
∫(2x^2 + 1)^2 dxなら展開してから不定積分を行えば良いのですが、
∫{x(a^2 - x^2)^(1/2)} dx
のような、もっとややこしい場合は展開もできません。
そのような場合はどうやって計算するのですか？

勘で
∫(ax^n + b)^α dx
= {(ax^n + b)^(α+1)} / {ax^(n-1)(α+1)} + C
と思ったのですが、違いますか？
では、お願いします。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/05/31 10:07

中の n によっていろいろで, n = 2 なら何とかなるけど n が 3以上のときは一般に不定積分できないはず.

ちなみに不定積分があっているかどうかは, 他人に聞くまでもなく微分すればわかる.

この回答へのお礼

ありがとうございます。
なるほど、nが3以上のときは一般に使える不定積分の公式はないんですね。
私の場合、不定積分が合っているかどうかは、計算機で確認しています（自分で微分もしますが）。

では、一般に使える不定積分の公式がないとすれば、
∫{x(a^2 - x^2)^(1/2)} dx
をどうやって解きますか？

お礼日時：2010/05/31 10:19

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2010/05/31 10:38

>∫{x(a^2 - x^2)^(1/2)} dx

>をどうやって解きますか？
これはたまたま別の公式が適用できて簡単に積分できるケースです。
文字変数を含む一般的な場合なく、具体的な積分の場合は色々なやり方が先人達により見出されていることが多いですね。

∫{x(a^2 - x^2)^(1/2)} dx=∫{(-1/2)(a^2 - x^2)'*(a^2 - x^2)^(1/2)} dx
=-(1/2)(2/3)(a^2 - x^2)^(3/2)+C
=-(1/3)(a^2 - x^2)√(a^2 - x^2)＋C

正しいかは#1さんが言われるように積分結果を微分して被積分関数が出てくるかで確認できますね。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
なるほど、xが(-1/2)(a^2 - x^2)'で表されているんですね。
私にはまだ出来ません…。

因みに、この(-1/2)は、たまたま(a^2 - x^2)' = -2xだったので
それをxにするための単なる辻褄合わせですか？
それとも、(a^2 - x^2)^(1/2)のべき乗の部分から1を引いた(1/2 - 1)ですか？

お礼日時：2010/05/31 11:25

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/05/31 12:21

#2 は丁寧に変形しているので, その過程を追っていけば「-1/2 がどこに由来するのか」は容易にわかるはずです. 特に最初の等号

で「何がどう変わっているのか」をじっくり見てください.

この回答へのお礼

ありがとうございます。
過程を追う、というのはこういうことでしょうか？

#2さんの積分
∫{x(a^2 - x^2)^(1/2)} dx
=∫{(-1/2)(a^2 - x^2)'*(a^2 - x^2)^(1/2)} dx
=-(1/2)(2/3)(a^2 - x^2)^(3/2)+C
=-(1/3)(a^2 - x^2)√(a^2 - x^2)＋C

を逆から微分
{-(1/2)(2/3)(a^2 - x^2)^(3/2)}'
=-(1/2)(2/3){(a^2 - x^2)^(3/2)}'
=-(1/2)(2/3){(3/2)(-2x)(a^2 - x^2)^(1/2)}
=(x)(a^2 - x^2)^(1/2)

で元通りです。この(-2x)と-(1/2)が打ち消しあって
xになっているんですね。
納得できました。

お礼日時：2010/05/31 13:07

No.4 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2010/05/31 12:27

#2です。

A#2の補足質問について
>因みに、この(-1/2)は、たまたま(a^2 - x^2)' = -2xだったので
>それをxにするための単なる辻褄合わせですか？

その通りです。積分と微分は表裏の関係ですから、この位のことは見抜かないといけませんね。

>それとも、(a^2 - x^2)^(1/2)のべき乗の部分から1を引いた(1/2 - 1)ですか？
違います。

公式
∫g'(x)f(g(x))dx=F(g(x))+C
ここで ∫f(x)dx=F(x)+C'とします。
A#2はこの公式を使えるように少しお膳立てしただけです。
他の例をあげると
f(x)=sin(x),g(x)=x^3とすればg'(x)=3x^2なので
∫(x^2)sin(x^3)dx=(-1/3)cos(x^3)+C
という積分が上の公式を適用することで簡単に出来ます。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
私の質問の例と同様にすると

f(x)=sin(x),g(x)=x^3とすればg'(x)=3x^2なので
∫(x^2)sin(x^3)dx
=∫(-1/3)(3x^2)sin(x^3)dx　←ここを追加してみました
=(-1/3)cos(x^3)+C

ということですね。逆から微分してみると

{(-1/3)cos(x^3)}'
=(-1/3){cos(x^3)}'
=(-1/3){-sin(x^3)・(3x^2)}
=x^2 sin(x^3)

…ちゃんと元に戻りますね。
置換積分というのですか、私はこれがとても苦手です。
慣れるまで練習してみます。

答えてくださった皆さん、ありがとうございました！

お礼日時：2010/05/31 13:09