電気磁気学の問題です。

電気磁気学の問題です。
図のように導体１(内半径a,外半径b)および導体２が(内半径c、外半径d)あります。導体１は接地されており、導体２の全電荷はQ2である。
また同心球の中心からx[m](x<a)離れた位置に点電荷Qがある。このとき
(1)導体２の電位をもとめよ。
(2)点電荷Qに働く力を求めよ。
という問題です。
(1)はガウスの定理からEをもとめてそれを∞からdまで積分して、V2=（Q2+Q)/(４Πεｄ)であってますか？？
(2）はやり方が分からないのでどなたか賢明な方、教えてください。

No.2 回答者： Quarks 回答日時： 2011/10/27 17:29

２つの導体は、球殻という条件ですね。

(1)　その通りです。
　
(2)　内球殻の内部は、導体で囲まれた空間ですから、静電遮蔽された空間なので、外球殻の電荷の影響は及びません。同様の理由で、内球殻の外側表面電荷も考慮する必要はありません。結局、内球殻の内表面（以下面Sとします）に励起されている電荷（分布密度は一様ではありませんが）から受ける力を求めれば良いことになります。
鏡像法で解いてみましょう。

具体的には、ANo1さんが書いておられるように、Sに分布している電荷と内部の＋Qとによって、Sのどこでも電位０の状態になっていることに注目し、Sの電荷を１つの電荷に置き直してしまうのです。

仮に球殻の中心を原点Ｏ、Ｏから外側にｒ軸をとってみます。いま、ｒ＝ｘの位置Ａに＋Ｑが有り、r=yの位置Ｂに－ｑが有るとします（この、r=yにある－ｑ こそが、Sの電荷を１つに集約した仮想の電荷に当たります。－Ｑとしなかったのは、置き換えに当たって、電荷の絶対値が変わる可能性を考慮しました）。
さて、Ｓ上の任意の点Ｐを考えます。
Ｐの電位は条件から０です。これはＡの電荷による電位とＢの電荷による電位との和が０と言う意味ですから
ｋ・Q/b＋k・(-q)/c＝０　　（ア）
が成り立つことを意味します。また図形的に
b^2=a^2＋x^2-2ax・cosθ　　（イ）
c^2=a^2＋y^2－2ay・cosθ　　（ウ）
です。
（ア）を（イ）,（ウ）を使って書き下し
kq/(√(a^2＋y^2-2ax・cosθ))=kQ/(√(a^2＋y^2-2ay・cosθ))
変形して
Q^2(a^2＋y^2)－q^2(a^2+x^2)=2a・cosθ(y・Q^2－x・q^2)　　（エ）

ＰはＳ上の任意の位置ですから、角度θに関係なく、この等式が成り立たなければなりませんから
y・Q^2－x・q^2=0
∴q=Q・√(y/x)　　（オ）
（エ）の左辺も０となるはずなので（オ）を使って
Q^2(a^2＋y^2)-(y/x)Q^2・(a^2+x^2)=0
これをyに関する２次方程式として解くと
y=x,a^2/x　が得られます。y=xは無意味なので、y=a^2/x　です。
これで、Ｓ上の電荷を、１つの電荷に置き換えることができましたから、後はクーロンの法則を使って、静電気力を求めるだけです。
F=k・Q・q/((y-x)^2)
=…

No.1 回答者： foobar 回答日時： 2010/06/07 17:00

(1)導体１が接地（電位0に固定）されているので、内部のQは外部に影響をあたえないかと思います。

(2)導体1の内面が電位0の条件を満たす仮想の点電荷をひとつ決めて、仮想電荷による電界を計算して、Qに働く力を計算することになりそうに思います。