慣性モーメントについての質問です。

慣性モーメントについての質問です。

・長さL、質量Mの一様な棒がある。この棒の端点を通り、棒に垂直な軸周りの慣性モーメントは？
・中心線に棒のついた薄い長方形の平板に質量Mの小球を速さvでぶつけた。小球は反対方向に１/2vではねかえった。小球をぶつけた場所は、中心線からd離れた場所である。平板は角速度ωで回転した。慣性モーメントをIとすると、角速度ωはどう表すか？
・半径r、質量mの球が、水平面よりh高いところから、滑らかな斜面を転がり落ちる。球が水平面に達した時の速さははどうなるか？慣性モーメントは、I=2/5mr^2で、重力加速度はg。

の三問なのですが、慣性モーメントがいまいちわかっておりません。どうか、はじめての人でもわかるように教えていただければと思います。よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： yokkun831 回答日時： 2010/06/12 17:33

（１）

線密度　λ=M/L
I = ∫[0～L]λx^2dx
= λ[1/3・x^3]_0^L = 1/3・M/L・L^3 = 1/3・ML^2

（２）
系の軸周りの角運動量は保存されるから，
Mvd = Iω - 1/2・Mvd
∴ω = 3Mvd/(2I)

（３）
「滑らかな斜面を転がり落ちる」は自己矛盾。すべることなく転がるとします。
エネルギー保存により，
1/2・mv^2 + 1/2・Iω^2 = mgh
すべることなくころがる条件から，v=rω
∴　左辺 = 1/2・mv^2 + 1/2・2/5・mr^2ω^2 = 7/10・mv^2
∴　v = √(10gh/7)

以上のようになると思います。