単振動の解

自然の長さl, ばね定数k のばねの下端に質量mの質点をつるす。上端を鉛直方向に動かし、変位がacosωtとなる振動を与える。運動方程式の解を求めよ。ただし、ω≠√(k/m) とする。

という問題で、鉛直方向に動かしている時の質点の自然長からの変位をxとすると、

mx''=-kx + mg となるので 解は、

x=Acos(ω0t+α) + mg/k だと思ったのですが、
答えは
x=Acos(ω0t+α) +{aω0^2cosωt/(ω0^2 - ω^2)} + l + (mg/k)
となっていました。

変位を acosωt にするということが関係すると思うのですが、どう扱えば良いのかよく分かりません。
なぜこうなるのでしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2012/01/24 09:33

下向きにx座標を取り、時刻tでの質点の位置をx(t)、バネ上端の位置をx0(t)とすると、

時刻tでのバネの伸びはx(t)-x0(t)-l。したがって、運動方程式は

mx'' = -k[ x(t)-x0(t)-l ] + mg = -kx(t) + kx0(t) + k(l + mg/k)

x0(t)がacosωtなので

x'' + (k/m) [ x(t) - (l+mg/k) ] = (k/m) a cosωt
x'' + ω0^2 [ x(t) - (l+mg/k) ] = aω0^2 cosωt

要するにただの単振動ではなく強制振動です。

No.2 回答者： rnakamra 回答日時： 2012/01/24 09:29

xが自然長からの伸びとしているため、質点の加速度はx''とならないからです。

上端が振動している、つまり加速度を持つため伸びの2階微分以外にも加速度に寄与する項があるのです。

ここで上端の位置をy,自然長をL,質点の位置をz,伸びをxとしましょう。
下向きを正ととると運動方程式は
z''=-kx+mg
となります。x''ではない点に注意すること。
ここで
z=y+L+x
ですのでこれを運動方程式に代入すると
z''=-k(z-y-L)+mg
となります。これが質点の座標zが満たす方程式になります。

No.1 回答者： misawajp 回答日時： 2012/01/24 08:48

加速度の考慮を失念しているから

この回答へのお礼

なるほど。
考え直してみます。ありがとうございました。

お礼日時：2012/01/24 10:08