固有周期Tの振り子の先の質点部分に同じ振り子がついていたとします。(例えば、長さLの紐の先に質点mがついていて、その先にまた長さLの紐の先に質点mがついている、といった質点が2つあるような振り子です。)この2質点振り子の1次モードの固有周期はどうなりますか?2Tでしょうか。

A 回答 (3件)

いわゆる,二重振り子の問題ですね.



根元の振り子と先っぽの振り子が同じ振動面を振動するとは限りませんが,
簡単のため,両方の振り子の振動面は同じ平面と考えます.
また,角振幅も小さいとします.
そうしないと,周期が振幅に依存してしまい,固有周期になりません.

この仮定の下で,固有角振動数ωは
(1)  (ω1) = (g/L)(2-√2)
(2)  (ω2) = (g/L)(2+√2)
の2つです.
gは重力加速度.
振り子が2つだから,自由度が2で,
2つの振り子の適当な線形結合が固有モードになっているわけです.
周期は
(3)  (T1) = 1/2π(ω1)
(4)  (T2) = 1/2π(ω2)
です.
単純振り子は,ω=(g/L),T = 1/2πω,ですから,
(3)(4)のどちらも 2T にはなりません.
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
参考になりました。

お礼日時:2001/04/05 19:02

siegmund です.



あちこちミスプリがありましてすみません.
ルートが抜けたり,分数の/の場所が違ったり...
ルートはどこまでかかるのかわかりづらいので,
左辺を2乗にしようと訂正していたら,肝心の2乗を忘れてしまいました.

guiter さんのご指摘の通りです(ご注意ありがとうございました).
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ほとんど siegmund さんが説明しておられるので蛇足になりますが、


少しミスがあるようなので一応訂正しておきます。

(ω1) = √{(g/L)(2-√2)}
(ω2) = √{(g/L)(2+√2)}

(T1) = 2π/(ω1)
(T2) = 2π/(ω2)

ですね。

あと、固有角振動数ω1のとき2つの質点は同じ方向に
固有角振動数ω2のとき2つの質点は逆方向に振動しています。
また、上下の2本の紐が鉛直方向となす角をそれぞれθ、φとすると
 φ=±√2 θ (+はω1のときで同方向、-はω2のときで逆方向)
という関係になっています。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。参考になりました。

お礼日時:2001/04/05 19:03

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色々質問がありますが、解く過程が知りたいです。
詳しくお願いします!!!!

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運動方程式をつくることは出来ました。
しかし、ここからどうやって固有振動数を求めていいのかがわかりません。
1つ目の振り子が長さl1重さm1角度シータ1
2つめの振り子が長さl2重さm2角度シータ2で
微小なゆれなので

(m1+m2)l1シータ1(ドット2つ)+m2l2シータ2ドット=ー(m1+m2)gシータ1
l2シータ2(ドット2つ)+l1シータ1(ドット2つ)=ーgシータ2

ググルと色々出てくるのですが、
運動方程...続きを読む

Aベストアンサー

>何でこれをとくのかがさっぱりです。

とりあえずこの部分のみ。

固有振動数とは,系全体(今回の場合2つの質点)が同一の振動数で振動する状態(規準振動=モード)の振動数をさします。したがって,
θ1 = Acosωt
θ2 = Bcosωt
とでもおいて,2つの運動方程式に代入します。すると,振幅AとBの方程式が2つできるわけですが,これら2つの方程式によって得られる振幅比B/Aが同じである必要があります。B/Aが両式で同じになる条件をつくると,ω^2に関する2次方程式が得られるのです。この解が規準振動の角振動数となり,あらためてA,Bの方程式に代入すると,振動数が小さい方がB/A>0で同じ方向への変位,振動数が大きい方がB/A<0で逆方向の変位となります。

以上の手順を,No.1さんがおっしゃるようにθ1とθ2の適当な1次結合に関する単振動としてみつけることもできるということです(結果的に必要な計算は同じです)。

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http://www14.atwiki.jp/yokkun/pages/354.html

http://www.youtube.com/watch?v=ericQCm4zL8

>何でこれをとくのかがさっぱりです。

とりあえずこの部分のみ。

固有振動数とは,系全体(今回の場合2つの質点)が同一の振動数で振動する状態(規準振動=モード)の振動数をさします。したがって,
θ1 = Acosωt
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Aベストアンサー

座標の設定の指示があるようですので,
系の重心の座標を下向きにx,棒の角変位を右回りにθとします。
以下「'」で時間微分を表示します。また,小文字はまぎれるので長さはLとします。

L = 1/2・2mx'^2 + 1/2・Iθ'^2 - 1/2・k(x-3Lθ/4)^2 - 1/2・k(x+Lθ/4)^2

ここで,系の慣性モーメントは,I = 5mL^2/24。
また,重力による位置エネルギーの項は,つりあい位置をx,θの座標原点にとることでキャンセルされることはご存知のことと思います。

運動方程式をつくると,
x'' = -ω0^2(x-Lθ/4)
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https://www.youtube.com/watch?v=AMGYjTeBpg4

座標の設定の指示があるようですので,
系の重心の座標を下向きにx,棒の角変位を右回りにθとします。
以下「'」で時間微分を表示します。また,小文字はまぎれるので長さはLとします。

L = 1/2・2mx'^2 + 1/2・Iθ'^2 - 1/2・k(x-3Lθ/4)^2 - 1/2・k(x+Lθ/4)^2

ここで,系の慣性モーメントは,I = 5mL^2/24。
また,重力による位置エネルギーの項は,つりあい位置をx,θの座標原点にとることでキャンセルされることはご存知のことと思います。

運動方程式をつくると,
x'' = -ω0^2(x-Lθ/4)
θ'' = 12/(5L) ω0^2(x...続きを読む

Q導体球殻の電位

内半径a 外半径b の導体球殻の中心に電気量q(>0)の点電荷を置くとき
各点における電位の分布を求めよ。無限遠方をV=0とする。

という問題で

まず、ガウスの法則を用いて電場をもとめて、そこから距離の積分をしてVを求めようとしました。


まず、境界は次の三つであっていますでしょうか。

(1)0<r<aの時(2)a≦r<b(3)B≦r

そして各場合の電場は

(1)の時、∫ε_0EdS=q より
E= q/4πr^2ε_0
(2)の時、
導体の内部なので電場E=0
(3)の時∫ε_0Eds=q
E=q/4πr^2ε_0

ここで電位を求める場合の方法ですが境界の値と計算方法に自信がありません。

(3)の時、

V=-∫(∞→r)E・dr = (q/4πε_0)・(1/r)

(2)の時、
V=-∫(∞→b)E・dr -∫(b→r)0・dr = (q/4πε_0)・(1/b)

(1)の時、

V= -∫(∞→b)E・dr -∫(b→a)E・dr - ∫(a→r)E・dr = (q/4πε_0)(1/r)

(1)の答えが解答では(q/4πε_0)(1/r)
ではなく
(q/4πε_0)((1/b)+(1/r)-(1/a))
となっていました。

なぜなのでしょうか。

ご教授お願い申し上げます。

内半径a 外半径b の導体球殻の中心に電気量q(>0)の点電荷を置くとき
各点における電位の分布を求めよ。無限遠方をV=0とする。

という問題で

まず、ガウスの法則を用いて電場をもとめて、そこから距離の積分をしてVを求めようとしました。


まず、境界は次の三つであっていますでしょうか。

(1)0<r<aの時(2)a≦r<b(3)B≦r

そして各場合の電場は

(1)の時、∫ε_0EdS=q より
E= q/4πr^2ε_0
(2)の時、
導体の内部なので電場E=0
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E=q/4πr^2ε_0

ここで電位を求める場合の方法ですが境界の値と計算方...続きを読む

Aベストアンサー

考え方も計算も、ほぼオッケーですよ。
(1)のときの電位ですが
V= -∫(∞→b)E・dr -∫(b→a)E・dr - ∫(a→r)E・dr = (q/4πε_0)(1/r)

真ん中の(b→a)の積分のときは、上で書かれているように E=0 なので
積分も0です。
ですから
V=(q/4πε0)( (1/b) - (1/∞) + (1/r) - (1/a) )
になりますね。


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