逆三角関数の定義域

逆三角関数の定義域

f(x)=cos(2arcsinx)の定義域についてです。
()内は、arcsinxの定義域が[-1,1]で、2arcsinxになったとしても定義域は変化しないのはわかりますが、cosとどう関係しているのかがわからないです。

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2010/06/21 01:36

cos(X)の定義域は-∞<X<∞, 値域は-1≦cos(X)≦1

X=2arcsin(x)の定義域は-1≦x≦1,値域は-π≦X≦π
です。
下のxの定義域-1≦x≦1がcos(X)の定義域-∞<X<∞より狭く
X=2arcsin(x)…（A)の値域が-π≦X≦π…（B)となる。このXに対してcosXの値域が-1≦cos(X)≦1…（C)
（A)のx定義域がcosXの定義域（B)になりこのXに対してcos(X)=cos(2arcsinx)が定義されます。つまり　xの定義域がcos(X)のXの定義域に変換されるのです。
したがってcos(2arcsinx)の定義域はarcsin(x)の定義域となりますが、そのxの定義域がcos(X)のXの定義域に変換されるだけですのでcos(2arcsinx)と書けばxの定義域は
arcsinxの定義域と一致するわけです。
参考に図を添付します。

No.1 回答者： sanori 回答日時： 2010/06/21 00:19

こんにちは。

cos のほうは気にしなくていいです。
θがどんなに大きくても、どんなに小さくても
cosθ　は普通に求まりますので。