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(1)
有理数の稠密性より、xに収束する有理数の列{qx(n)}がある
条件より、f(qx(n)) = g(qx(n))
連続性よりf(qx(n)) → f(x)、g(qx(n)) →g(x)
f(x) = lim f(qx(n)) = lim g(qx(n)) = g(x)
(2)
最大値の定義より、すべてのxに対してx ≦ y = max{X}となるy?Xが存在する
yはXの上界
あるz?Rに対して、もしz<yならば、zはXの上界ではない
つまり、yは上界の最小値
上限の定義「上界の最小があれば、それを上限とよぶ」よりy = sup{X}
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