∫1/sin^2xdx を求めよ。
次のようにやりましたが、どこが間違っているか分かりません。
ご指摘ください。
∫1/sin^2xdx=∫{1/(1-cosx)(1+cosx)}dx
=(1/2)*{∫1/(1-cosx)dx+)+∫1/(1+cosx)dx}
=(1/4)*{∫1/sin^2(x/2)dx+∫1/cos^2(x/2)dx} x/2=tとおく。
=(1/2)*{∫1/sin^2tdt+∫1/cos^2tdt}
=(1/2)*{∫1/sin^2xdx+∫1/cos^2xdx}
よって、
(1/2)*∫1/sin^2xdx=(1/2)*∫1/cos^2xdx
∫1/sin^2xdx=∫1/cos^2xdx
=tanx
正解は-1/tanxなので、どこで間違ったのでしょうか。
よろしくおねがいします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
4行目から5行目の変数の書きかえが原因です。
例えば、
2∫xdx
=∫(2x)dx t=2x とおいて、
=(1/2)∫tdt
=(1/2)∫xdx
とやってしまうと、∫xdx=0
が導かれてしまいます。
不定積分の過程での変数の書きかえに問題があるといえます。
定積分のときは、
2∫xdx
=∫(2x)dx t=2x とおいて、
=(1/2)∫tdt
=(1/2)∫xdx
としてよいのですね。
不定積分のときはだめということですね。
ありがとうございます。
∫1/sin^2xdxの積分はどんなやり方があるでしょうか。
No.2
- 回答日時:
>∫1/sin^2xdx
=∫(sin^2x+cos^2x)/sin^2xdx
=∫(1+cos^2x/sin^2x)dx
=∫-(cosx)'/sinx-cosx(1/sinx)'dx
=-∫(cosx/sinx)'dx
=-cosx/sinx+C
=-1/tanx +C
No.3
- 回答日時:
質問文中のように、∫1/(cos^2 x)dx = tan x を既知として扱ってよいのなら、
x = (π/2) - y で置換積分して、
∫1/(sin^2 x)dx = ∫1/(cos^2 y)(-dy) = - tan y = -1/tan x で十分でしょう。
No.1 補足を見ると、
折角の No.1 が、解ったんだか、解らなかったんだか、よく判りません。
「どこで間違ったのでしょうか。」への回答は、あれが簡潔かつ十全だけれども。
ありがとうございます。
だめな箇所はわかりました。
そして、その理由もわかりました。
ご指摘の通り、回答者に対して、失礼しました。
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