共線条件

共線条件

平行六面体ABCD-EFGHにおいて、辺ＡＢ、ＡＤを2:1に内分する点をそれぞれＰ，Ｑとし、平行四辺形ＥＦＧＨの対角線ＥＧを1:2に内分する点をＲとするとき、平行六面体の対角線ＡＧは△ＰＱＲの重心Ｋを通ることを説明せよ。

指針　まず、Ａを始点とする位置ベクトル@AB,@AD,@AEをそれぞれ,@b,@d,@eとして（表現を簡単に）
　@AK,@AGを@b,@d,@eで表す。

解　@AB=@b,@AD=@D,@AE=@eとする。
　　・・・・・・・・以下省略

教えてほしいところ
指針には、Aを始点とする位置ベクトルと書いてありますが、解答にはAを基準点（原点とみる）という記述が見あたらないので、解説の位置ベクトルとみるという説明とずれている
のでは？？（位置ベクトルではなく、つまり、単純な矢線ベクトルと解釈できるということです。）

１位置ベクトルとみる理由は、@P,@aなどと表すとき始点が一致していることが示せるから、
２さらに一次独立であることが言えるので、@AK,@AGというベクトルを@b,@d,@eを使って表せると確信
が持てるため。
この１、２が理由です。

添削お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： Kules 回答日時： 2010/09/24 12:32

そうですね…

まあ「指針の書き方が不親切だ」と切ってしまうのも一つの手ですが、
（私が個別指導のバイト時代に生徒に教えるなら、「始点をAに揃えて、Aを原点と考える」と説明していたでしょう）
実際全てのベクトルの始点をどこか１点に揃えれば（その始点を原点だと言ってなくても）それらのベクトルを位置ベクトルと思っても（その始点を原点とみなしたと思っても）差支えない状況になるので、そういうつもりで書かれているんでしょう。

ところで
>解説の位置ベクトルとみるという説明
というのは
>@AB=@b,@AD=@d,@AE=@eとする
の部分のことですかね？
「位置ベクトルの場合@AB=@b,@AD=@d,@AE=@eのように置く」ことは多いですが、
「@AB=@b,@AD=@d,@AE=@eとする」≠「@b,@d,@eは位置ベクトルである」
というのはわかってますよね？
これはあくまでも文字を置き換えただけで、「この操作をすること」＝「位置ベクトルとして扱う」というわけではありません。
もし「B,D,Eを表す位置ベクトルをそれぞれ@b,@d,@eとする」とか書いてあれば話は別ですが。
まあおそらくここには書かれていない解説の中で明らかに@b,@d,@eを位置ベクトルとして使っているとしか思えない箇所があるんだとは思いますが。

したがって、
１位置ベクトルとみる理由は、@P,@aなどと表すとき始点が一致していることが示せるから、
半分正解。「@AB=@b,@AD=@d,@AE=@eとする」この一文がなければ、始点がそろっていることは言えません。この一文なしに、しかも「位置ベクトル」という言葉も使われていないのに「@P,@aなどと表すとき始点が一致している」と思うのは危険です。
（そんな無闇に混乱すること書くやつはいないと思いますが）「@AB=@b,@CD=@d,@FE=@eとする」としても間違いにはなりません。採点官の心証は悪くなりそうですけど。

２さらに一次独立であることが言えるので、@AK,@AGというベクトルを@b,@d,@eを使って表せると確信
が持てるため。
ちょっと怪しさが残ります。確かに空間ベクトルで基底となる（互いに平行でなく、0ベクトルでもない）ベクトルが３つあれば、空間上の全ての点を３つのベクトルの線形結合で表すことは可能ですが、
ただ「AK,@AGというベクトルを@b,@d,@eを使って表せる」ことだけが必要なら互いに平行でないベクトルを４つ持ってきても可能です。（そんな無闇に混乱する（以下略））
これはすぐ４つ目のベクトルが残り３つのベクトルの線形結合で表せるため、４つ目必要ないやん。というのも理由と言えますし、もう１つ「４つのベクトルを用いると、それ以外のベクトルを唯一の方法で表すことができない」というのも理由でしょう。
まあ「唯一の方法で表せないといけない」ことはこの問題ではさほど重要ではないですが、頭に置いておいてもバチは当たらないと思います。

ということで２に関しては「@b,@d,@eを使って表せるという確信があれば安心して解答を進めることができる（この安心感がなくても解答は書けますが、万が一表せなかった時解答の逆戻りが発生します）」
ぐらいの認識でいいのではないかと思います。

参考になれば幸いです。

No.3 回答者： htms42 回答日時： 2010/09/25 15:22

別にベクトルを使わなくても解くことはできます。

ＡＣとＰＱの交点をＳとします。
ＰＳ＝ＱＳ
ＡＳ：ＳＣ＝１：２
ＳＲはＡＥＧＣの面内にあるので△ＰＱＲの中線です。ＡＧと交点を持ちます。交点をＴとします。
ＳＲ∥ＡＥですからＡＴ：ＴＧ＝ＥＲ：ＲＧ＝１：２＝ＳＴ：ＴＲ
Ｔは△ＰＱＲの中線ＴＲを１：２に内分する点になっていますので△ＰＱＲの重心Ｋと一致します。

多分かなり短くなっているはずです。

相変わらず、ベクトルの表現にこだわっていますね。
＠ＡＢのままでやるかこれを＠ｂと書くかは証明の道筋には何の関係もないことです。

解答の指針と解答文とで使われている言葉の不一致を問題にしておられます。
この問題を指針も解答も見ないで解くことができたのでしょうか。
自分でできなくて解答や指針を見たとしてもソレはヒントだと思って自分の納得する表現で書けばいいのです。
まず解く方が先です。

＞１位置ベクトルとみる理由は、@P,@aなどと表すとき始点が一致していることが示せるから、

始点が一致していれば始点を基準とする位置ベクトルであると見ることができるということです。
「一致していることが示せるから」ではありません。
後から出てきたベクトルはそれが位置ベクトルであると見るのであれば初めに決めた基準に始点を合わす必要があります。でも単に変位ベクトルとして求めただけであれば始点を合わす必要はありません。

＞２さらに一次独立であることが言えるので、@AK,@AGというベクトルを@b,@d,@eを使って表せると確信
が持てるため。

一時独立であるということとそのベクトルが位置ベクトルであるということは関係がありません。

位置ベクトルの中から一次独立なベクトルを３つ選んだからそのベクトルで他の位置ベクトルを表すことができるようになったのです。
一時独立なベクトルの選び方は＠ＡＢ，＠ＡＤ，＠ＡＥでなければいけないというのではありません。
この図の中に出てこないベクトルでもいいのです。
ただこの図の中に出てくるベクトルから選んだ方が表現が簡単になるからというだけの理由です。

おまけ
一次独立なベクトルを選ぶという言葉が出ています。
前の質問で
＞@p=n@a+m@b/m+nという公式を利用する際

と書いておられるのは平面でのばあいです。
＠ｐを＠ａ、＠ｂで表すという表現になっています。

私の書いた回答に対する補足に
「原点は任意なのだから＠ａがゼロベクトルになってもかまわない」
と書いておられますね。

他のベクトルを表すための基準にとるベクトルは任意ですが大きな条件があります。
一次独立であるというのはその条件です。
しかし、ゼロベクトルであれば意味をなさないというのも条件です。当然のこととして了解されているはずです。２つ選んだはずが１つしか選んでいないということですからおかしいということがすぐにわかるのではないでしょうか。一次独立という条件よりも前、ベクトルを２つ選ぶというところで出てくる条件です。
まさかこういう反論が戻ってくるとは思っていませんでしたので驚きました。

今回は３次元です。２次元の時にそういう理解であれば３次元でも危ういところがあるのではないかと推測しています。言葉に振り回されている感じです。

No.2 回答者： muturajcp 回答日時： 2010/09/25 03:55

A,B,D,E,G,K,P,Q,Rに対応するベクトルをa,b,d,e,g,k,p,q,rとすると

Kは△PQRの重心だから
k=(p+q+r)/3…(1)
PはABを2:1に内分するから
p=(a+2b)/3…(2)
QはADを2:1に内分するから
q=(a+2d)/3…(3)
RはEGを2:1に内分するから
r=(2e+g)/3…(4)
ABCDは平行四辺形だから
b+d=a+c…(5)
ACGEは平行四辺形だから
e+c=a+g…(6)
(1)式のp,q,rに(2)(3)(4)を代入すると
k={(a+2b)/3+(a+2d)/3+(2e+g)/3}/3={2(a+b+d+e)+g}/9
b+dに(5)を代入すると
k={2(2a+c+e)+g}/9
c+eに(6)を代入すると
k=(2a+g)/3
∴KはAGを1:2に内分する点となる