行列と連立１次方程式

行列と連立１次方程式

連立１次方程式AX=Oの解

(1)連立１次方程式{ax+by=p⇔(a b)(x)⇔(p)⇔AX=Pと行列で表される。
cx+dy=q (c d)(y) (q)
(1)の方程式で、P=Oのとき
(2)方程式AX=Oは常にX=０を解にもつ
(3)方程式AX=OがX=O以外の解をもつ⇔⊿(A)

解説
[1]A^-1が存在するとき AX=Oから、A^-1(AX)=A^-1O
ゆえにX=O→解はx=y=0だけ
[2]A~-1が存在しないとき すなわち ⊿(A)=ad-bc=0のとき,ad=bcであり、ax+by=0とcx+dy=0は、ともに定数項が０であるから同値となる。

教えてほしいところ
１．(3)の場合なんですが確かに、X=Oを解にもたないのでO以外と言えますが、O以外で必ず解をもつといえる理由を教えてください
また、⊿(A)=0と同値であるといえる理由を教えてください。
２．ax+by=0とcx+dy=0は確かに定数項は０ですが、a=c,b=dかどうかわからないと同値とはいえないのでは？？

No.5 ベストアンサー 回答者： momordica 回答日時： 2010/10/08 16:29

> １．(3)の場合なんですが確かに、X=Oを解にもたないのでO以外と言えますが、O以外で必ず解をもつといえる理由を教えてください

⊿(A)=0の場合も、X=Oは解に持ちますよ。
AO=Oというのは、Aがどんな行列であっても成り立ちますから。
「方程式AX=OがX=O以外の解をもつ」　というのは、
あくまで「方程式AX=OがX=O以外”にも”解をもつ」　という意味です。

　(以下の行列はすべて2次の正方行列、ベクトルはすべて2次の列ベクトルです。
　便宜上、列ベクトルの成分を横に並べて行ベクトルのように書かせてもらいます）

まず、０ベクトルでないベクトルXがAX=Oを満たすとするとき、
⊿(A)≠0であるとすると、Aは逆行列A^（-1）をもつので、それを両辺に左からかけると
　A^(-1)AX=O　　∴　X=O
よって、Xが0ベクトルでないことに矛盾するので、⊿（A) =0
したがって、⊿（A) =0はAX=OがOでない解をもつための必要条件です。

また、逆に⊿（A) =0のときを考えると、
(i) A=Oのとき、
　任意のXがAX=Oの解となるのは自明でしょう。
(ii) A≠Oのとき、
　X1=（d, -c), X2=(-b, a)とすると、
　　AX1=(ad-bc, cd-cd)=O　　　AX2=(-ab+ab, -bc+ad)=O
　よって、X1, X2はともにAX=Oの解であり、少なくとも一方はOでないので、
　AX=Oは、Oでない解を少なくとも一つ持ちます。
(i)(ii)より、⊿（A) =0はAX=OがOでない解をもつための十分条件です。

以上より、⊿（A) =0はAX=OがOでない解をもつための必要十分条件です。


> ２．ax+by=0とcx+dy=0は確かに定数項は０ですが、a=c,b=dかどうかわからないと同値とはいえないのでは？？

例外として、「(a, b)=O かつ (c, d)≠０」　または　「(a, b)≠O かつ (c, d)=０」　の場合は
ad-bc=0にはなりますが、このとき、Oの方の式は、0x+0y=0 という単なる恒等式、
Oでない方の式はxy平面上の直線を表す方程式になりますから、同値とは言えません。

もっとも、ax+by=0とcx+dy=0が連立一次方程式だということですから、暗黙の了解として、
「(a, b)≠O かつ (c, d)≠０」　を前提としているのでしょう。
この場合、ad-bc=0 であれば、a:c=b:dですから、 一方の式は他方の式の両辺を実数倍
したものになりますので、同値です。
xy平面上では同じ直線を表します。

この回答への補足

回答有り難うございます。お陰で勘違いに気が付きました。
この部分だけわかりません。
⊿（A)=0→方程式ＡＸ＝ＯがＸ＝Ｏ以外の解をもつ


上の命題が成り立つことを証明してください。

補足日時：2010/10/08 21:48

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/10/08 01:44

１の「(3)の場合なんですが確かに、X=Oを解にもたないのでO以外と言えますが」ってどういうこと? 「確かに」と書いているくらいだから, 「X=O を解に持たない」ことは確認したんですよね. どうやって確認したの?

あと２の方は a=c かつ b=d であることは必要ではないのだが, 実は解説の [2] もおかしい. ad=bc のときでも ax+by = 0 と cx+dy = 0 が同値ではないことがありうるんだが, そういう状況は無視してるのかなぁ?

No.3 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/10/07 21:22

こんばんわ。

まず、#1さんが「(1)(2)(3) の記述が、混乱し過ぎです。」と書かれているのは、
文字の位置がずれているのでわかりにくい。という意味だと思います。
確かに、行列をテキストで表すのは難しいです。
⇔の記号で結びつけてしまったので、さらに混乱してしまっていると思います。＾＾；

もとの連立方程式は、ax+ by＝ p, cx+ dy＝ qですね。
そして、
X＝ (x, y)と P＝ (p, q)はベクトル（列ベクトル）を表し、
A＝ (a b)(c d)は 2×2の正方行列ですね。

いまは、P＝ (0, 0)のときを考えているので、次のようになりますね。
ax+ by＝ 0, cx+ dy＝ 0 ⇒ AX＝ O

準備はここまでとして、以下に。
-----------------------------------------
＞１．(3)の場合なんですが確かに、X=Oを解にもたないのでO以外と言えますが、
O以外で必ず解をもつといえる理由を教えてください
行列式が 0であれば、d＝ bc/aとなります（ただし、a≠ 0）。
これを cx+ dy＝ 0に代入すると、
(左辺)
＝ cx+ bc/a* y
＝ c/a* (ax+ by)

となります。
c≠ 0であれば、この方程式も ax+ by＝ 0となります。
結果、ax＝ (-b)y、つまり x: y＝ (-b): aという無数にある組を解にもつことになります。


＞また、⊿(A)=0と同値であるといえる理由を教えてください。
上で「左向き」の矢印は示せているので、「右向き」を。
これは簡単で、もし逆行列をもつとすると、X＝ A^(-1)O＝ Oとなって X＝ 0という解をもってしまいます。
背理法であっさりですね。


＞２．ax+by=0とcx+dy=0は確かに定数項は０ですが、a=c,b=dかどうかわからないと同値とはいえないのでは？？
たとえば、次のような連立方程式はどうですか？
2x- 3y＝ 0, -12x+ 18y＝ 0

2つ目の式を -6で割ると、1つ目の式に一致します。
上にも記しているように、「比」がポイントになります。

No.2 回答者： adasnt 回答日時： 2010/10/07 18:43

(3)の⇒を証明します．Ax=0がx=0以外の解を持つとき，Aの逆行列が存在する．という命題が成り立たないことを証明すれば，⇒が証

<=は，ad=bc だからax+by=0の両辺にdをかけて，cx+dy=0の両辺にbをかけて両式を比較してみてください．同じになりませんか？ そうするとax+by=0を満たす(x,y)って何でしょう？

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2010/10/07 18:17

(1)(2)(3) の記述が、混乱し過ぎです。

清書してくれないと、何を質問してるのか
判りません。

この回答への補足

この混乱を解いてもらうべくして質問しているんです。
なんとか、助けてください！！

補足日時：2010/10/07 19:30