aは実定数　２次方程式 x^2-2x+a-1=0　の解２つの異なる解が

Question

aは実定数　２次方程式 x^2-2x+a-1=0　の解２つの異なる解が異符号のとき、aの値の範囲を求めよ。

２つの解をα，βとしたとき、異符号であり、解と係数の関係から、αβ＜0
よって、a-1<0より、a<1

解答にα，βの実数条件　判別式＞０をいれなくてもよいのか。それともいれなければいけないのか。
私はいれなければならないと思うのですが、よろしくお願いします。

at9_am · Accepted Answer

＃４です。少しだけ補足。

問題は、大学入試の解答に際して、判別式なりを用いて解が実数であるという条件を入れるかどうか、という点にあります。

大学入試に限らず試験では「自分は××について分かっている」とアピールする場です。例えば証明問題において「自明である」とだけ書いても点が来ないように（実際問題、証明の大部分は自明なのだが）、分かっているということを相手に伝えられなければ点は来ません。

> 「解α，βが異符号」と「αβ＜0」が同値なのは自明なことなのか。

とありますが、上述のように解答者にとって自明であるかどうかは、得点する上ではあまり重要ではありません。
重要なのは「x^2-2x+a-1=0が異なる実数解αβをもつ」ということが数学的にはどう表現されるか、「αβが異符合」とはどのように表現できるか、といった話を解答で「分かっている」と示すためにはどう書けば良いのか、です。

個人的な意見としては、同値であっても、あまりにも冗長になっていたり少しの式変形で済む場合や定理や公理として示されたもの以外は、書いた方が安全です（場合によっては部分点が期待できます）。なので、書けるなら書いた方が良いと考えます。

nag0720 · Answer

２次関数f(x)=x^2-2x+a-1のグラフを描いてみれば分かると思いますが、
f(0)=a-1＜0
なら、必ず異符号の２解を持ちます。

判別式＞０をいれなくても大丈夫です。

ちなみに、判別式＝2^2-4(a-1)=8-4a＞0よりa＜2ですから、a＜1だけで十分です。

nag0720 · Answer

もし２次方程式が虚数解α,βを持つとしたら、αとβは共役な関係になっています。
α=p+iq
β=p-iq
αβ=(p+iq)(p-iq)=p^2+q^2≧0

このことからも、αβ＜0なら実数解を持つことが分かります。

aurumnet · Answer

問題によります。
方程式が2つの解を持つと問いに書いてあるなら書かなくてもよいと思います。
また、明らかな場合も書かなくてもよい。

それ以外なら書いておくべきです。減点対象になる可能性もありますしね。

この問題なら私でしたら、
この方程式が下に凸であることを断言しておき、
x=0のときにyが負になることで異符号の解を持つと回答します

at9_am · Answer

> ２つの異なる解が異符号のとき

といっているので、解が符号を持たなければなりませんから、実数解でなければなりません。
したがって、例えば2-3iという解が一つの解として得られたとして、符号を考えることができないため、解としては適さないものとなります。

私なら、

x^2-2x+a-1=0
与式から
(x-1)^2 + a-2=0 より a<2 のとき2つの異なる実数解をもつ

と安全のために書くことが多いです。

もちろん、必ず二次方程式が虚数解をもつ場合、共役になりますから、二つの解の積が負→実数解は常に成り立ちます（実数解→二つの解の積が負、は成り立たないので注意）。
が、何の断りもなくこれを所与として良いかについては、大学入試等の試験では疑問です。最低限、

αβ<0 → α、βは実数

の一行位はあった方が良いですね。

mister_moonlight · Answer

＞解答にα，βの実数条件　判別式＞０をいれなくてもよいのか。それともいれなければいけないのか。

質問の意味は、α，βの実数条件＝判別式＞０をいれなくてもよいのか、という意味だろう。
αとβが虚数の場合を考えるかどうか、という意味ではないだろう。

判別式＝(α＋β)＾2-4αβ＝(α-β)＾2-2αβにおいて、(α-β)＾2＞0で　αβ＜0だから、判別式＝(α＋β)＾2-4αβ＞0は自動的に成立する。
従って、αとβの実数条件＝判別式＞０は不要。

mister_moonlight · Answer

＞このことについて、解答のなかで触れる必要があると思うのですが、どうなのでしょうか。
＞それとも、「解α，βが異符号」と「αβ＜0」が同値なのは自明なことなのか。

解α，βが異符号とαβ＜0が同値なのは自明、そんな事は当然だろう。

その場合は判別式は不要という事は、その証明と共に高校で習うはず。
高校で習う事は無条件で使っても良いから、触れる必要はないとは思う。

別解としても、a＝-x^2＋2x+1として、y＝a、y＝-x^2＋2x+1　の2つのグラフの交点を考えるだけなんだから、それを考えると要らないと思うけどね。。。。。

しかし、不安なら、証明を書いておけば(証明自体は簡単だから)無難だとは思うが。

aは実定数 ２次方程式 x^2-2x+a-1=0 の解２つの異なる解が

２次関数f(x)=x^2-2x+a-1のグラフを描いてみれば分かると思いますが、

もし２次方程式が虚数解α,βを持つとしたら、αとβは共役な関係になっています。

問題によります。

> ２つの異なる解が異符号のとき

＞解答にα，βの実数条件 判別式＞０をいれなくてもよいのか。

＃４です。

＞このことについて、解答のなかで触れる必要があると思うのですが、どうなのでしょうか。

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＞解答にα，βの実数条件　判別式＞０をいれなくてもよいのか。