2階線形常微分方程式の解法を教えてください

2階線形常微分方程式

xd^2y/dx^2 + dy/dx = 4x (1 < x < e)
y(1) = 1
y(e) = e^2 + 1

の条件で与えられている微分方程式が

y(x) = x^2 + ln x

となるそうです。
勉強不足故にどうしても解く事が出来ません

どなたか、御教授いただけませんでしょうか
お願いします。

念の為に問題が書いてあるプリントも添付しておきます。
よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： noname#137826 回答日時： 2010/12/05 15:14

与えられた微分方程式は

d/dx(x dy/dx) = 4x

のように変形できます。(左辺の微分を実行すると元の微分方程式になります。)
両辺を積分して

x dy/dx = 2x^2 + C_1

となります。この両辺を x で割ってから、さらに積分すると

y = x^2 + C_1 ln(x) + C_2

となります。C_1 と C_2 は y(1) = 1, y(e) = e^2 + 1 を代入して計算すれば得られます。

この回答へのお礼

回答大変ありがとうございました。

d/dx(x dy/dx) = 4x

と変形できる辺りが納得できれば後は大丈夫だと思います
ここまで教えて頂いたのですからなんとか考えます。

本当に助かりました。

お礼日時：2010/12/05 15:47

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2010/12/05 15:34

>xd^2y/dx^2 + dy/dx = 4x

d/dx{xdy/dx}=4x
xdy/dx=2x^2+c1
dy/dx=2x+c1/x
y=x^2+c1*ln|x|+c2

1<x<eなので
y=x^2+c1*ln(x)+c2…(1)

(1)に条件
y(1) = 1
y(e) = e^2 + 1
を適用して

1+c2=1 ∴c2=0
e^2+c1=0 ∴c1=e^2

c1,c2を(1)に代入すれば

>y(x) = x^2 + ln x

が得られます。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

数分の差でベストアンサーに評価する事が出来なかったのが悔やまれます。
本当にありがとうございました。

お礼日時：2010/12/05 15:52