【対数】log(2)n=n-1となるnを求める問題

はじめまして。

題の通りなのですが、nを自然数とするときにlog(2)n=n-1を満たすnの値は求められますか？
2^(n-1)=nと変形はしたのですが、ここから動きません

No.2 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2011/01/25 23:06

y=f(x)=2^(n-1)-n

のグラフを描けば分かると思いますが、
n=1,2の2通りの解があります。

図を添付しておきます。
グラフの単調性からf(1)=f(2)=0なので
n=1,2でのみ
2^(n-1)=n
が成立します。

この回答への補足

ありがとうございます。

高校数学（I、II、A、B）の範囲で解きたいのですが、f(x)=2^(n-1)-nのグラフというのは高校数学範囲内で習いますか？
習わないのであれば、別の解法で求めてみたいです。

補足日時：2011/01/25 23:14

No.4 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2011/01/26 10:50

数IIまでという条件か。

条件より、2＾n＝2n だから、y＝2＾n　と　y＝2n のグラフで交点を求めることになる。
n＝1、2　というのは簡単にわかるが、それ以外に解がないという証明をどうするか。
nの上限もないし、n≧3　の時は解を持たない事を　数学的帰納法で証明するか？

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2011/01/25 23:13

おお、そうか。

f(2) = 0 を見落としてた。
しかし、グラフを描けば n = 1, 2 が分かるというのは
話の順番がデタラメで、f(1) = f(2) = 0 が分かったから
グラフが描けた訳です。考え方の筋道を偽ってはいけない。

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2011/01/25 22:37

n = 1 が解のひとつであることには、気がつかなければ話が始まりません。

その上で、f(x) = log_2(x) - (x-1) または f(x) = 2^(x-1) - x と置いて、
f(x) が x ≧ 1 で単調であることを示しましょう。