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ファガーソン曲線は、始点X0、終点X1、初速度V0、終速度V1の4つのベクトルによって定まる曲線で、
パラメータtを用いて曲線の位置をP(t)で表したとき、
(1)P(0)=X0
(2)P(1)=X1
(3)dP(0)/dt=V0
(4)dP(1)/dt=V1
を満たす事が条件となります。
従って3次のペジェ曲線に対して(1)(2)(3)(4)を満たす事を示せば良い事になります。
3次のペジェ曲線は、4つのベクトルB0、B1、B2、B3によって次の様に定義されます。
P(t) = B3・t^3+B2・3t^2(1-t)+B1・3t(1-t)^2+B0・(1-t)^3
これをtで微分すると、
dP(t)/dt = B3・3t^2+B2・3t(2-3t)+B1・3(3t-1)(t-1)-B0・3(1-t)^2
となります。従って、(1)(2)(3)(4)は、
P(0)=B0
P(1)=B3
dP(0)/dt=3(B1-B0)
dP(1)/dt=3(B3-B2)
と表され、始点=B0、終点=B3、初速度=3(B1-B0)、終速度=3(B3-B2)のファガーソン曲線となります。
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