新生活を充実させるための「こだわり」を取材!!

A、Bが環である時、A×BのイデアルはI×J (ただし、IとJはそれぞれAとBのイデアル)という形で書けますか?
もしそうなら証明も教えください。
よろしくお願いします。

教えて!goo グレード

A 回答 (2件)

単位元がない環の場合、次が反例になりそうです:



  gを2以上の整数として、
  A = B = gZ (gで割り切れる整数全体)
  K = <(g, g)> ((g, g)で生成されるイデアル)

Kは、次のように書くこともできます:

  [1]  K = {(a, b) | a≡b≡0 mod g, a≡b mod g^2 }

もし、K = I×Jなら、

  [2]  I = { a | (a, 0)∈K }
     J = { b | (0, b)∈K }

なので、[1]により、

  I = (g^2)Z
  J = (g^2)Z
   (g^2で割り切れる整数全体)

でなければなりません。すると、I×Jに(g, g)が含まれないことになり、矛盾です。

[1]と[2]は、それほど自明でないかもしれませんが、証明できると思います。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

常に成り立つだろうと思っていたのですが、単位元が存在しない場合は反例が存在したのですね。
丁寧に書いてくださって大変よくわかりました。
ありがとうございました。

お礼日時:2011/03/02 15:59

KがA×Bの左イデアルなら、



  K = ( A×{0})K × ({0}×B)K

になりませんか?
    • good
    • 1
この回答へのお礼

ありがとうございます。
( A×{0})Kとか( A×{0})Kっていうのはそれぞれ第一成分、第二成分だけ見たものという意味ですよね。
言われてみればA、Bが乗法の単位元を持つ時は確かにそうなりますね。
ですが、そうでないときK⊂( A×{0})K × ({0}×B)Kが言えない気がするのですがどうでしょうか。

お礼日時:2011/02/28 23:06

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

教えて!goo グレード

人気Q&Aランキング