ケプラーの第一法則

教えてください。
ケプラーの法則の第一法則で惑星は太陽をひとつの焦点とする楕円軌道を公転するとなっていますが、楕円には焦点が２つあると思います。なぜ焦点のうちのひとつには何も存在しないのに楕円軌道を描くのでしょうか？
わかりやすく押してください

No.4 ベストアンサー 回答者： ruehas 回答日時： 2003/09/19 08:35

こんにちは。

楕円に焦点がふたつあるのは幾何学的な定義です。惑星の楕円軌道は主星と惑星のふたつの質点があれば成立します。

楕円軌道を回る惑星には近日点と遠日点がありますよね。近日点では軌道速度は速くなり、遠日点では遅くなりますが、双方の運動は「運動量保存の法則」（正確には角運動量保存だったかな）によって保たれています。軌道速度はその地点の主星からの距離、即ち軌道半径に反比例するからです。ですから、近日点と遠日点での距離が全く同じ場合は軌道速度は同じになり、この場合は正確な円軌道ということになります。

近日点と遠日点が１ｍもずれることのない円軌道であれば焦点がひとつ、即ち焦点イコール中心点ということになりますが、惑星運動にそのように正確なものはありませんから、全ての惑星が運動量の保存という規則に従った楕円軌道を回っています。

この軌道を決定するのは楕円の中心点から焦点までの距離、即ち離心距離であり、中心点に対して反対側の全く同じ距離に当る架空の点がその楕円のもうひとつの焦点となります。

No.5 回答者： grothendieck 回答日時： 2003/09/23 02:18

kechigamiさん、こんにちは。

楕円の焦点のうち一つがポテンシャルの中心になることは他の方が書かれている通りです。それでは楕円のもう一つの焦点には何らの物理的意味もないのでしょうか。実は逆二乗の力の場では次の式で定義されるルンゲ-レンツベクトルが保存量になります。
　A = r・×h - GMr^
ここでr・は位置ベクトルrの時間微分(・はrの上に書きたいのですがやむを得ず後ろに書いています)、h は角運動量、Gは重力定数、r^はr方向の単位ベクトルです。Aの大きさは楕円の離心率eとA=GMeという関係があります。これが楕円のもう一つの焦点の物理的意味と言えるかもしれません。中心力でも力が逆二乗以外の場合はAは保存量になりません。量子力学ではこのベクトルを用いて水素原子のエネルギー準位を求めることができます。Aが保存量になることを示す計算は大変で、よくこんなものを思い付いたものだと思います。

参考URL：http://scienceworld.wolfram.com/physics/Laplace- …

No.3 回答者： yoko3333 回答日時： 2003/09/18 15:24

ン年前まで大学で天文物理を勉強していましたが、すでにその記憶は失われて久しいので(笑)、

不正確なところがあるかもしれませんが・・・。

２つの焦点に物体があるから楕円軌道をとるのではありません。
一般的に、太陽系の惑星はガスや塵が高速で回転しているうちに凝縮されて出来たといわれて
います。一番中心の部分には当然一番大きい固まり＝太陽が出来、それより外側の部分は、
濃淡があったところが個々に凝縮されて惑星になったと考えられています。
（例外もあるようですが。）

そうすると普通に考えれば太陽を中心とした円軌道を取りそうなものですが、太陽が圧倒的に
重いため、惑星は太陽に向かって落ちていくことになります。
でも、一直線には落ちません。すでに惑星は回転していますので、なにもなければ太陽を中心
にらせん状に落ちていくことになります。
ところがこのとき、惑星が持つ太陽に対する位置エネルギーは運動エネルギーになるため
（エネルギーは保存される）、太陽に近づくと惑星の回転（公転）速度は速くなります。
そうすると太陽の引力を脱するだけの力を持つことになり、そのまま太陽に激突せずに、また
遠ざかっていきます。しかし太陽から遠ざかる＝位置エネルギーが大きくなると自然に運動
エネルギーが小さくなり、公転速度が遅くなり、また太陽に向かって落ちていきます。
この繰り返しが「楕円軌道」になるのです。

なお、遠ざかる際に、運動エネルギーが大きいと放物線軌道となり、太陽系から去っていって
しまいますし、近づく際にうまく運動エネルギーがつかないと太陽に落ちていくことになるで
しょう。
現時点で存在する惑星はうまいことこのバランスが「楕円軌道」に適していたんでしょうね。

なお、太陽が１つの焦点になるというのは、万有引力の法則から求めることが出来ます。
（Ulu_lunさんが紹介されているサイトに書いてありますね。）
どうしても数学の小難しい計算が必要になりますので、ちょっと大変かと・・・。

ちなみに、ケプラーはあくまでも観測結果から「そうなっているらしい」というのを発見した
だけなので、「どうして太陽が焦点の楕円軌道になるのか」とかの理由はニュートンが計算
するまでわかりませんでした。
つまり、正確な話をするには計算式を使うしかないのだと思います(^_^;)
一般的な理解としては上記で充分だと思います。

No.2 回答者： ranx 回答日時： 2003/09/18 12:12

楕円にもう一つ別の焦点があるというのはたまたまです。

惑星の運行には何の関係もありません。
ちなみに、惑星の速度がもっと速ければ、軌道は放物線や双曲線になります。
（もっとも、この場合は「惑星」とならず太陽系外に飛び出しますが。）
そんな軌道ならば、「もう一つの焦点」に意味が無いということも
直感的に理解できるのでは。

No.1 回答者： Ulu_lun 回答日時： 2003/09/18 11:57

これは、私が解説するより、以下のＨＰを

ご参照になられたほうがおわかりになると
思います。

参考URL：http://photon.adsm.hiroshima-u.ac.jp/~class/phys …

この回答へのお礼

せっかく教えていただいたのですが内容が難解すぎて私にはわかりませんでした。
ありがとうございます

お礼日時：2003/09/18 12:13