平行平板コンデンサーの二枚の長方形極板がある。
その座標が、0≦x≦a,0≦y≦b,z=d(d>0)と表される方が電荷Qを帯び
0≦x≦a,0≦y≦b,z=0と表される方が、電荷-Qを帯びていている。
極板間には、その断面が0≦y≦b,0<z<dで表される誘電率εの十分長い誘電体棒が
X軸の正方向に向かい、0<xくLの部分まで挿入され、残りのL<x≦aの部分は真空(誘電率εo)であるとする。
極板の端の効果を無視すれば、極板問の電場は至る所、等しい。

極板間に誘電体棒を引き込もうとするカFを求めよ。



というような問題です
汚い図で申し訳ないのですが、以下のような状態かと思われます。
この問題が出るまでの課程で、全正電荷エネルギーU=d Q^2 / 2b(εX+εo a)を求めさせられました。
このエネルギーを利用して解くのでしょうが、単純にFx=Uとするわけにもいかないでしょうし、いまいちわかりません。
ご回答よろしくお願いします。

A 回答 (1件)

多分,私が添付した図のような状況じゃないかと推測します.間違ってたらごめんなさい.



このコンデンサは誘電体εが挿入されたコンデンサと,真空コンデンサの並列接続とみなすことができ,

誘電体が挿入されたコンデンサの静電容量は
C' = εbx/d,
電荷は
Q' = (x/a)Q
したがって,静電エネルギーは
U' = (1/2)Q'^2/C' = (1/2){d/(a^2 b)}(Q^2/ε)x.

真空コンデンサの静電エネルギーU0は,上の式で
ε→ε0,
x→a-x
と置き換えることで得られる
U0 = (1/2){d/(a^2 b)}(Q^2/ε0)(a - x).

結局,このコンデンサの静電エネルギーは
U = U0 + U' = (1/2){d/(a^2 b)}Q^2 {x/ε + (a - x)/ε0}.

このとき,
F = -∂U/∂x
= -(1/2){d/(a^2 b)}Q^2 (1/ε - 1/ε0)
= (1/2){d/(a^2 b)}Q^2 (1/ε0 - 1/ε) (> 0).

誘電体の棒の先端がx = aに達するまで力の大きさFはxの値によらずに誘電体の棒はコンデンサに引き込まれ,棒の先端がx = aの位置に来た時点で力は0になる.
「極板に挿入された誘電体に働く引力」の回答画像1
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この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございました。
とても助かりました。

お礼日時:2011/04/11 23:12

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Q誘電体に働く力がわかりません

「面積S、横幅Lの導体平板が2枚、間隔dを空けて存在する並行平板コンデンサがある。このコンデンサに電圧Vを印加しながら、コンデンサの右端からxのところまで、誘電率εの誘電体で満たした。真空中の誘電率をε0として、誘電体に働く力Fの方向を求めよ。」
という問題がわかりません。

コンデンサに電荷Qを充電して、電源を外し、誘電体を入れる場合には、コンデンサの静電エネルギーW=(Q^2)/2Cであることから
  F = -∂W/∂x > 0
よって誘電体に働く力の向きはxの増加する方向(コンデンサに引き込まれる方向)だと思いました。

ですが、電圧Vを印加したままの状態だと、コンデンサの静電エネルギーW=C(V^2)/2なので
  W = {εSx/(d×L)+ε0S(L-x)/(d×L)}(V^2)/2
  F = -∂W/∂x
= SV^2/(2d×L)(ε0-ε)<0
よって誘電体に働く力の向きはxの減少する方向(コンデンサから追いやられる向き)だと思いました。
これであっているのでしょうか?

Aベストアンサー

考え方が間違っている。

コンデンサの静電エネルギーの変化と誘電体の運動エネルギーの和は保存しません。
保存量でないためF=-∂W/∂xとはできません。

電源がつながっている状態では電源自体が仕事をするのでその影響を考えないといけないのです。
電源がした仕事=コンデンサの静電エネルギーの増加+誘電体の運動エネルギーの増加
になります。
誘電体が中に入った時、コンデンサの静電エネルギーは増大しますが電源の行った仕事はそれ以上に大きいため誘電体の運動エネルギーは増大します。
(電荷量の増加⊿Qとすると電源の行った仕事はV⊿Qとなります。コンデンサの静電エネルギーの増大は(1/2)V⊿Qですので誘電体に(1/2)V⊿Qの仕事がなされるのです。)

Qコンデンサーに誘電体を挿入するときの引力

直流電源に繋がれたコンデンサーの間に、
底面積がコンデンサーの金属板より小さく、高さがコンデンサーの間隔と等しい直方体形の誘電体を横から入れていく時、
(1)誘電体がコンデンサーからはみ出ている時は、
 コンデンサーの中に引き入れられる向きに引力を受けますが、
(2)誘電体が完全にコンデンサーの中に入っている時は、
 その位置が右に偏っていようが左に偏っていようが、(合力としては)引力も斥力も生じないそうです。
少し難しめの物理の問題集(大学受験用)にそう書かれていました。
問題としては、この現象を数学的に解析させるもので、
それを見ればこの現象が起こるのはわからないでもないのですが、
これをコンデンサーの金属板と誘電体の表面の電荷から考えると、どうも納得できません。

(1)
□□□□□□□□□□□□□ ←コンデンサー
□+□+□+□+□+□+□
             ■-■-■■■
             ■■■■■■■ ←誘電体
             ■■■■■■■
             ■+■+■■■
□-□-□-□-□-□-□
□□□□□□□□□□□□□

この図のような(誘電体がコンデンサーからはみ出ている)時、
コンデンサーの左側の表面電荷と、誘電体の誘電分極による表面電荷が引力を及ぼしあうから、
誘電体はコンデンサーの中心向きに引力を受けるというのはわかります。
しかし、

(2)
□□□□□□□□□□□□□
□+□+□+□+□+□+□
 ■-■-■-■
 ■■■■■■■
 ■■■■■■■
 ■+■+■+■
□-□-□-□-□-□-□
□□□□□□□□□□□□□

この図のような時、
誘電体から見て左側より右側の方がコンデンサーの表面電荷が多く存在するから、
誘電体は右側に引き寄せられる気がします。
この考え方はどこが間違っているのでしょうか?

直流電源に繋がれたコンデンサーの間に、
底面積がコンデンサーの金属板より小さく、高さがコンデンサーの間隔と等しい直方体形の誘電体を横から入れていく時、
(1)誘電体がコンデンサーからはみ出ている時は、
 コンデンサーの中に引き入れられる向きに引力を受けますが、
(2)誘電体が完全にコンデンサーの中に入っている時は、
 その位置が右に偏っていようが左に偏っていようが、(合力としては)引力も斥力も生じないそうです。
少し難しめの物理の問題集(大学受験用)にそう書かれていました。
問題として...続きを読む

Aベストアンサー

重要な点を見落としています。
それは誘電体を入れる前とあとでコンデンサの
電荷の分布が変化しないとしている点です。
誘電体を入れる前は、電荷の分布がほぼ一様です。
誘電体を入れると誘電体のある部分に電荷が集中し、
誘電体が無い部分の電荷はほとんど無くなります。
これは電極の電荷によって誘電体の電極面に電荷が現れますが、
逆にこの電荷によっても電極の電荷も引き寄せられるからです。
このため、誘電体は右には引き寄せられません。

□ □ □ □ □ □ □ □ □
□+□+□+□+□ □ □ □ □
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□ □ □ □ □ □ □ □ □

Q同心球殻状の導体から作られるコンデンサー 電場 電位差 電気容量

半径aと半径b(a<b)の同心球殻状の導体から作られるコンデンサーを考える。
外側球殻が電荷Qを帯び、内側球殻が電荷-Qを帯びているとし、以下の問いに答えよ。
(1)外側球殻と内側球殻にはさまれた領域の電場を求めよ。
(2)外側球殻と内側球殻の電位差Vを求めよ。
(3)このコンデンサーの電気容量を求めよ。

という問題が解けません。
特に、同心球殻状の導体から作られるコンデンサーの考え方がわかりません。
どなたか解いていただけませんか。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

基本的な考え方だけ説明します。
「球面上に一様に分布した電荷qは、球内に電場を作らず、球外では
動径方向を向く電場E(r)=q/(4πεr^2)をつくる」(ε:真空の誘電率)

内球に電荷q1が分布するとき、
0<r<aでE1(r)=0,a<rでE1(r)=(1/4πε)(q1/r^2)
外球に電荷q2が分布するとき、
0<r<bでE2(r)=0、b<rでE2(r)=(1/4πε)(q2/r^2)
実際の電場は、E(r)=E1(r)+E2(r)

電荷は、内球の外面にq1,外球の内面に-q1,外球の外面にq2分布する。

電位は、
φb=∫[0→∞] E(r)dr=(1/4πε)(q1+q2)/b
φa=φb+∫[a→b] E(r)dr=φb+(q1/4πε)(1/a-1/b)

q1=-Q,q2=+Qより、電位差は、
V=φa-φb=(Q/4πε)(1/a-1/b)だから、
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Qコンデンサー極板間引力でFΔxは、なぜF一定が前提?

コンデンサーの極板間引力を求めるとき、
    ΔU=FΔx
というのをよく目にします。
しかし、求める前の段階ではFが一定かは不明なのでは?と考え、
          x+Δx
    ΔU=∫     F(x)dx
           x
とした方が正しいように思えます。でも、高校生の私には解けません。
いったいどのように求めるのが正しいのか理由とともに教えてほしいです。
 (上の考察は、Δxは微小な量で、コンデンサーは電荷+Qと-Q、極板間距離は初めx 、誘電率ε、面積はSで十分大きい、でやってます。)

Aベストアンサー

siegmund と申します.
大学で物理の研究と教育をやっています.

平行平板コンデンサーについては,理想的な場合は内部の電場 E は極板間距離によりません.
したがって極板間引力 F も極板間距離によりません.
だから,単に掛け算で FΔx でよい,というのが nsz さんのご回答で,
今の問題に関しては全くその通りです.

では,もし F が x に依存するようだったら(つまり,F(x) となっていたら)どうするのか?
お手上げか?
いやいや,そのときも F(x)Δx でいいのです.
x は考えている場所での x です.

そういえば,他の話で場所に依存する場合も F(x)Δx のように書いているのを見たことがあるぞ.

以下,そのことを説明しましょう.
大変重要な内容を含んでいます.

F(x) の原始関数を G(x) と書きましょう.
当然
(1)  G'(x) = F(x)
ですね.
そうすると
(2)  ΔU = ∫{x→x+Δx} F(x) dx = G(x+Δx) - G(x)
です.
(2)の右辺はどこかで見たような式の一部分ですよね.
そう,微分操作の定義
(3)  G'(x) = lim{Δx→0} { G(x+Δx) - G(x)}/Δx
の一部分です.
つまり,Δx が十分小さいときは
(4)  G(x+Δx) - G(x) = G'(x) Δx
のように思ってよろしい.
(4)を(2)に代入して(1)を使えば,めでたく
(5)  ΔU = F(x)Δx
になります.

(3)はいいとして,(4)のように書いて本当によいのか?
実は
(4')  G(x+Δx) - G(x) = G'(x) Δx + G''(x) (Δx)^2/2 + ・・・
であることが知られています.
こういう展開をテーラー展開と呼んでいます.
(4')を使えば,(5)に相当する式は
(5')  ΔU = F(x)Δx + F'(x) (Δx)^2/2 + ・・・
になりますが,Δx が十分小さいと思えば右辺第1項だけとれば十分で,
結局(5)に帰着します.

なお,Δx が小さいと言っても,ゼロとしてしまっては何も残りません.
いくらでも小さくできるが有限であってゼロではない,と思うところが大事です.

こういう考え方は,曲線と x 軸の間の面積を求めるときにも使われています.
最も単純な長方形なら,面積は (高さ)×(幅).
幅方向に動いていくときに高さが変わったらどうするか?
幅を十分小さくしてΔxにしてその部分の短冊型の面積が f(x) Δx,
これをすべてのΔx について足しあわせて ∫ f(x) dx を曲線下の面積とするわけです.
短冊型の面積を ∫{x→x+Δx} f(x) dx とはしませんね.

まとめると,
【微小な量に関して最低次の寄与を拾い出す】
というのが最も重要なところです.

なかなか本にはこういうふうに書いてはありませんね.

なお,上の話は数学的厳密さは犠牲にして直感的にわかりやすく説明しました.

siegmund と申します.
大学で物理の研究と教育をやっています.

平行平板コンデンサーについては,理想的な場合は内部の電場 E は極板間距離によりません.
したがって極板間引力 F も極板間距離によりません.
だから,単に掛け算で FΔx でよい,というのが nsz さんのご回答で,
今の問題に関しては全くその通りです.

では,もし F が x に依存するようだったら(つまり,F(x) となっていたら)どうするのか?
お手上げか?
いやいや,そのときも F(x)Δx でいいのです.
x は考えている場所での x ...続きを読む

Q遮断周波数のゲインがなぜ-3dBとなるのか?

私が知っている遮断周波数の知識は・・・
遮断周波数とはシステム応答の限界であり、それを超えると減衰する。
<遮断周波数の定義>
出力電力が入力電力の1/2となる周波数を指す。
電力は電圧の2乗に比例するので
Vout / Vin = 1 / √2
となるので
ゲインG=20log( 1 / √2 )=-3dB
となる。

ここで、なぜ出力電力が入力電力の1/2(Vout / Vin = 1 / √2)
となるのでしょうか?
定義として見るにしてもなぜこう定義するのか
ご存じの方いらっしゃいましたら教えて下さい。

Aベストアンサー

>ここで、なぜ出力電力が入力電力の1/2(Vout / Vin = 1 / √2)
>となるのでしょうか?
>定義として見るにしてもなぜこう定義するのか

端的に言えば、
"通過するエネルギー"<"遮断されるエネルギー"
"通過するエネルギー">"遮断されるエネルギー"
が、変わる境目だからです。

>遮断周波数とはシステム応答の限界であり、それを超えると減衰する。
これは、少々誤解を招く表現です。
減衰自体は"遮断周波数"に至る前から始まります。(-3dBに至る前に、-2dBとか、-1dBになる周波数があります)

Q平行板コンデンサーの誘電体の挿入による電界の変化について

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なぜ1対1になるのか分かりません。V=Edで変形してE=V/d。スイッチは閉じられているのでVは一定でdも一定でどちらも同じという事なのらしいのですが、誘電体って極板間の距離を縮める効果があったような気がして…
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だからεrが=1つまり空気でない限り、比誘電率ぶん変わってしまうと思ったのですが。どうでしょうか?

また回答の隅に右図が書いてあって、
これはVが一定(スイッチが入った状態)で並行板コンデンサに極板の何分の1かの誘電体を挿入した場合、その誘電体内の電界がまだ挿入してない部分と等しくなり挿入したぶぶんの空気の部分は、E0=εrEという事でしょうか?
また何故こういうことがいえるのか教えていただけると嬉しいです

よろしくお願いします。

はじめまして。
ただいま受験勉強中の高校3年生ですが、少し分かりにくかった部分があったので質問させていただきます。

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Aベストアンサー

こんばんは。

これは非常に単純な話です。
ひっかけ問題と言ってもよいかもしれません。

まず、LとRで、極板間にかかっている電圧は同じです。
そして、
電界というのは、その電圧を、向かい合う極板間の距離で割ったものです。
したがって、この場合は、電界はLとRで同じなのです。

ご参考になりましたら幸いです。


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