定積分を求める問題です

答えと解き方を教えてください

∫cos3xsinxdx の求め方を教えてください。

ちなみに上端はπで 下端は6/πです。

お願いします。

No.5 回答者： alice_44 回答日時： 2011/04/23 14:19

♯２じゃなくて、♯１＋♯３のようだが。

No.4 回答者： info22_ 回答日時： 2011/04/21 01:22

#2です。

三角関数の積和公式より
cos(3x)sin(x)=(1/2)sin(4x)-(1/2)sin(2x)
なので

定積分=∫[π/6,π] cos(3x)sin(x)dx
=[-(1/8)cos(4x)+(1/4)cos(2x)] [x:π/6,π]
=-(1/8){1-cos(2π/3)}+(1/4){1-cos(π/3)}
=-(1/8){1+(1/2)}+(1/4){1-(1/2)}
= …
というように計算すればいいですね。

別解
3倍角の公式
cos(3x)=4(cos x)^3 -3cos x
を利用して
定積分=∫[π/6,π] cos(3x)sin(x)dx
　=∫[π/6,π] {-4(cos x)^3*(cos x)'dx-∫[π/6,π] {-3(cos x)*(cos x)'dx
= [-(cos x)^4] [x:π/6,π]+[(3/2)(cos x)^2] [x:π/6,π]
…
=-1/16

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2011/04/20 23:51

cos の三倍角公式を使って、y = cos x で置換積分すると、

∫[π/6 から π まで] cos(3x) sin(x) dx
= ∫[(√3)/2 から -1 まで] (3y - 4y^3) dy

となります。多項式の積分は、できますか？

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2011/04/20 22:16

「cos3x」は cos(3x) ですか？　それとも (cos x)^3　（３乗） ですか？

後者なら、
∫(cos x)^3 *(-cos x)' dx =-(1/4)(cos x)^4 +C …(1)

>上端はπで 下端は6/πです。
下端は(π/6)では無いですか？

そうなら、定積分は
∫[π/6,π] (cos x)^3 *(-cos x)' dx =-(1/4)(cos π)^4 +(1/4)(cos(π/6))^4
=-(1/4)(-1)^4 +(1/4)(√3/2)^4
=-(1/4)+(1/4)(9/16)
=-7/64

この回答への補足

３はxの係数の3です。
なので三乗ではないです。

わかりにくくてすみません。。。


あと下端はπ/6であってました＞＜



ミスすみませんでした。

補足日時：2011/04/20 22:28

No.1 回答者： tomokoich 回答日時： 2011/04/20 22:05

積--->和の公式を使って

∫cos3xsinxdx
=(1/2)∫(sin4x-sin2x)dx
=(1/2)[-(1/4)cos4x+(1/2)cos2x]
これにπ,π/6を代入してみてください