センター試験１９９０数学IIの微積の問題

センター試験１９９０数学IIの微積の問題です。
なぜmのとる値の範囲がm≧-1になるのか教えてください。

問題
f(x)=x^3+ax^2+bxは、x=1/√３で極小値-2√3/9をとる。
このとき、a=0、b=-1であり、f(x)の極大値は2√3/9である。
曲線y=f(x)上の点P（x,y）における接線の傾きｍのとる値の範囲m≧-1である。

問題では、mのとる値の範囲の部分は空欄になっています。

No.1 ベストアンサー 回答者： sanori 回答日時： 2011/05/07 00:03

こんにちは。

ｆ（ｘ）　＝　ｘ^3　－　ｘ　＝　ｘ（ｘ＋１）（ｘ－１）

ｆ’（ｘ）　＝　３ｘ^2　－　１　＝　３（ｘ　＋　１／√３）（ｘ　－　１／√３）

ｆ（ｘ）の増減は、
Ａ）はるか左下から右上に上ってきて、
Ｂ）ｘ＝－１　でＸ軸と交わり、
Ｃ）ｘ＝－１／√３　で極大値を取って、向きを右下に変え、
Ｄ）ｘ＝０　でＸ軸と再び交わり、
Ｅ）ｘ＝１／√３　で極小値を取って、向きを再び右上に変え、
Ｆ）ｘ＝１　でＸ軸と三たび交わり、
Ｇ）はるか右上へと去っていく

以上のことから、傾きｍがマイナスになるのは、ＣからＥの範囲です。

つまり、
－１／√３　＜　ｘ　＜　１／√３
の範囲で　ｆ’（ｘ）　が最小になるところを示せばよいです。

ｆ’’（ｘ）　＝　６ｘ
なので、ｆ’（ｘ）が極小になるのは、ｘ＝０　のとき。
そのときのｆ’（ｘ）がいくらかというと、
３×０^2　－　１　＝　－１

No.2 回答者： naniwacchi 回答日時： 2011/05/07 00:06

こんばんわ。

傾き：m＝ 微分係数：f (x)≧ -1ということが示せればいいですよね。