電気双極子の作る電場

電磁気学を学び始めた者です。
色々考えたのですがよく分からなくて、お力をお貸しいただければ嬉しく思います。

問題）ある電気双極子モーメントの正負の電荷分布の重心の中点を原点にとり、双極子モーメントの向きにz軸をとるとx軸上のxの点での電場の向きと強さを求めなさい。

という問題なのですが
答えにはpを双極子モーメント、εは真空中の誘電率とすると
E=-(1/4πε)(p/x^3)
となっているのですがこうなる根拠が全然分かりません。

No.4 ベストアンサー 回答者： htms42 回答日時： 2011/05/25 04:14

ａ＜＜ｘを当てはめるというのがどういうことなのか、全然見当がつかないのですか。

あなたの出された式の中にある　{(a^2)+(x^2)}^(3/2)　の部分が目的の式の中ではｘ^3になっていることは分かるでしょう。ａが消えています。
{(x^2)}^(3/2)＝ｘ^3であることはすぐに分かるはずですからａを消すことが正当化されるのであれば目的の式が得られるということです。

ａを消すことができるというのはａ＝０であるということではありません。
ａがｘに比べて充分に小さければａ＝０であるとしたものと実質上同じ内容になるということです。
それはここの表現{(a^2)+(x^2)}^(3/2)の部分についての話です。だから前についている２ｑａの部分はそのまま残しています。ｐ＝２ａｑとしています。

充分小さいというのはどれくらいのことでしょうか。
＋ｑ
　・－－－－－－－－－－－－　ｘ　－－－－－－－－－－－－－－－・
－ｑ
{(a^2)+(x^2)}^(3/2)＝ｘ^3{(a^2)／(x^2)＋１}^(3/2)＝ｘ^3(１＋α)^(3/2)]
ａ／ｘ＝０．１の時　α＝０．０１、(１＋α)^(3/2)＝√(１．０１)^3＝√１．０３０３０１≒１．０１５０４
　　　　　　　　　　１％のずれです。
ａ／ｘ＝０．０１の時　α＝０．０００１、(１＋α)^(3/2)≒１．００００１
　　　　　　　　　　これはもう1に等しいとみなしてもいいはずです。

「ずれが１％」というところが目安になる場合が多いです。
(１＋α)^n　～１＋ｎα　という関係を使えば電卓がなくても計算できます。α＜＜１であればなりたちます。
この近似式はいたるところに出てきます。

近似による式の変形は実際に数値を入れてみれば自然と分かってくることだと思います。
でも式だけをただ眺めていても分かりません。

高校の物理でも出てきます。ヤングの干渉実験や回折格子のところでは出てくるはずです。
この場合は光の波長がスリットの間隔に比べて充分に小さいという関係を使っています。

最後に
このことから分かる注意事項を１つ

E=-(1/4πε)(p/x^3)
という式は２つの電荷＋ｑ，－ｑの間の距離に比べて充分に離れたところでの電界を与える式です。
だから逆に上の条件の成り立っていないところではこの式を使うことができません。
その境目の目安は距離の比が１０倍の所にあります。

この回答へのお礼

ありがとうございます！！
お礼が遅くなってしまって申し訳ないですが、おかげさまで理解できました。
a^2をだいたい０として計算するのですね！！

ありがとうございました！！

お礼日時：2011/06/02 21:57

No.3 回答者： htms42 回答日時： 2011/05/14 05:33

＞E=(1/4πε)[2aq/{(a^2)+(x^2)}^(3/2)]

になったのですが合ってますか？

符号の（－）が必要です。
この式で
ｐ＝２ａｑ、
ａ＜＜ｘ
とすると目的の式になります。

この回答への補足

お返事ありがとうございます。

a<<x
とはどのようにすればいいのですか？

補足日時：2011/05/16 13:09

この回答へのお礼

日付が経ってしまいましたがお返事いただけなくて残念です。

お礼日時：2011/05/24 19:20

No.2 回答者： htms42 回答日時： 2011/05/13 04:14

＞E=(2px)/(4πε((a^2)+(x^2)))

これは質問文の中にある式
＞E=-(1/4πε)(p/x^3)
と一致しません。次元も合っていません。

なぜｘ方向の電場だけ足し合わせたのですか。
ｘ方向は打ち消しになるはずですね。
図を書いてみましたか。

足し合わせになるのはｚ方向でしょう。
ｐは双極子ベクトルです。ｚ軸方向を向いています。
Ｅの向きはｐの向きと反対なのです。

計算し直してください。

この回答への補足

すみません。
色々勘違いしていました。

ご指摘通りx方向の電場は打ち消しあい、z方向だけになります。

で、計算しなおしたのですが

E=(1/4πε)[2aq/{(a^2)+(x^2)}^(3/2)]

になったのですが合ってますか？

補足日時：2011/05/13 21:30

No.1 回答者： htms42 回答日時： 2011/05/11 14:12

ｚ軸上のｚ＝ａに正の電荷ｑ、ｚ＝－ａに負の電荷　－ｑを置きます。

ｘ軸場のｘのところに正電荷Ｑを置きます。

Ｑに働く力の方向と大きさは２つの電荷ｑ，－ｑから働く力を合成すれば分かります。
Ｆ＝ＱＥに当てはめてＥを出します。
この結果の式をｘ＞＞ａとして変形してみて下さい。
最後にｐ＝２ｑａを代入するとＥ＝　　の式が出てきます。

Ｅの中の符号（－）はｚ軸のマイナス方向を向いているという意味になります。
やってみて下さい。

この回答への補足

回答ありがとうございます。

ご指摘通りにEを計算したところ
x方向の電場だけを足し合わせると
E=(2px)/(4πε((a^2)+(x^2)))
になったのですが
x>>aとして変形するってところがよく分かりません。

補足日時：2011/05/12 16:46