媒介変数表示された関数の導関数

数学3Cを独学で学んでいますが、躓いています…

この問題↓で、

次の関数について、dy/dxをθで表せ。(θは媒介変数とする)
x=θ-sinθ、ｙ=1-cosθ

なぜ↓のようになるのかが、いまいち理解できません…。

dy/dθ=sinθ

dx/dθ=1-cosθ

∴dy/dx=sinθ/1-cosθ

それから、数3Cで独学に良いサイト等ありましたら、教えて頂けると嬉しいです。
よろしくお願いします。

No.1 回答者： naniwacchi 回答日時： 2011/06/15 10:29

こんにちわ。

1階微分については、分数のように扱うことができます。
で、なぜかというと・・・
微分係数って「傾きの極限」になりますね。
そして、傾きは(yの増加量)／(xの増加量)と、中学校の数学で習います。
つまり、dyは(yの増加量)、dxは(xの増加量)に該当することになります。

ただし、2階以上の微分については、この「分数な」関係は成り立ちません。
ここは注意が必要です。

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2011/06/15 13:08

y=y(θ),x=x(θ)とすると

y=f(x)のとき両辺をθで微分すると

dy/dθ=df(x)/dx・dx/dθ

これから

df(x)/dx=(dy/dθ)/(dx/dθ)

一方
df(x)/dx=f'(x)=dy/dx
なので
　dy/dx=(dy/dθ)/(dx/dθ)　…(A)

今の場合
>x=θ-sinθ、ｙ=1-cosθ
なので

>なぜ↓のようになるのかが、いまいち理解できません…。
>dy/dθ=sinθ
dy/dθ=d(1-cosθ)/dθ=sinθ …(B)

>dx/dθ=1-cosθ
dx/dθ=d(θ-sinθ)/dθ=1-cosθ…(C)

(B),(C)を(A)に代入して

>∴dy/dx=sinθ/(1-cosθ)

が導出されます。　

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2011/06/15 15:22

dy/dx を求めたい x において dx/dθ = 0 だったら、

(dy/dθ) / (dx/dθ) は計算できませんね？
その公式は、dx/dθ ≠ 0 のときだけ成立する式です。
dx/dθ ≠ 0 であれば、その x の近傍では、
θ から x への関数 x(θ) は一意ですから、
その逆関数 θ(x) が存在します。
合成関数の微分 (d/dx) y(θ(x)) を計算すれば、
与式は示されます。