ブランコの立ちこぎで靴を遠くに飛ばせる位置

ブランコを立ちこぎしているときに靴を遠くに飛ばすためにはどの位置で靴を離せば良いのでしょうか。

（以下は仮定ですのでこの数値を使わなくても構いません）
・鎖の長さが150cm
・ブランコの踏み台は地上から30cm
・ブランコが静止した位置から前後にそれぞれ45度の範囲で漕いでいる
・空気抵抗や摩擦抵抗は考えず、ブランコは慣性で動いていると仮定
・靴を飛ばすときは足でさらなる加速は付けず、ブランコの踏み台が持っているスピードで発射される
・靴の発射角はブランコの踏み台の角度と一致する

No.1 ベストアンサー 回答者： Quarks 回答日時： 2011/07/07 09:55

どの地点からの距離を想定しているのか明らかでないですが、図の L0+L が最大値を取る時、θが取るべき条件と考えることにしました。

図のように、t=0の瞬間に、点Pから投げ出されたとします。地面に到達した時刻をtとすると
-h=vtsinθ-(1/2)gt^2
L=vtcosθ
が成り立っています。また、左方でθ=45°の所(点A、図には描かれていません）から静かに振れ始めたわけですから
APの高さの差は、ブランコの鎖の長さをlとすると
l(1-cos45°)-l(1-cosθ)=l(cosθ-cos45°)ですから
v=√{2gl(cosθ-cos45°)}
L0=l・sinθ
h=h0+l(1-cosθ)
などの関係も成り立っています。
これらの式を組み合わせて、L0+Lをh,v,tなどの変数を含まない式で表し、その最大値を取るθの条件を求めれば良いでしょう。
とは言え、実際に計算しようとすると、変形は困難を極めますから、腰を据えて取り組まなくてはならないでしょうね。ご希望の主旨は厳密解をお求めではないと思いますから、計算で割り出そうとはしないで、表計算ソフトなどを利用して、いくつかの条件設定をしたシミュレーションで、おおよその傾向を見いだした方が、生産的なような気がします。

No.2 回答者： tadys 回答日時： 2011/07/07 11:25

ブランコが揺れている時の位置と速度を求める必要が有ります。

位置と速度が求まればそこから何処まで飛ぶかを計算できます。
これらの方程式を一つにして距離の微分を表す式を求めてその値がゼロになる点が最大（又は最小）になる点です。
http://www008.upp.so-net.ne.jp/takemoto/buranko. …
http://www.ccad.sist.chukyo-u.ac.jp/~mito/ss/pro …

この例の場合、振幅が45度と大きいので線形近似が出来ません。
非線形方程式を解く必要があるのですが、この方程式は解析的には解けません。
たぶん最下点に近い所で最大となると思うので線形近似でも良いのではないかと思いますが、自分で計算する気にはなりません。

No.3 回答者： cozycube1 回答日時： 2011/07/07 17:01

　考え方だけ。

・鎖の長さがL0（定数）
・ブランコの踏み台は地上からh0（定数）
・ブランコが静止した位置から前後にそれぞれθ0（定数）の範囲で漕いでいる

とでもしておけば、どんな場合でも解ける式が得られますから、そうしておいて解かれるといいと思います。

　また、ブランコと靴と考えず、糸に下がった単振り子と考えておいて、単振り子がどこまで来たときに糸を切れば、単振り子の錘が遠くまで飛ぶか、と考えるとよいでしょう。それで同じモデルですから、出てくる結果は同じです。

　出てくる式や途中計算式はややこしいので、めげるかもしれませんが、次のような手順です。また、使う絵はNo.1 Quarks様のものとほとんど同じなので、敬意を表して拝借させていただくことを、お許しください。

　最下点での錘の速度（方向は水平です）をｖ0（定数から計算できる定数）とします。この速度は、単振り子の錘が最も高く上がっているとき（このとき速度0）と最下点の落差ｈ0による位置エネルギーとなります。運動エネルギーと位置エネルギーが等しくなるということから、ｖ0は求められますが、以下の計算ではｖ0のままおいておいて、最後に代入しましょう。

　そして、単振り子の糸が垂直方向から、最下点からさらに角度θ（変数）だけ触れたときの錘の速さｖを求めます（最下点から初速ｖ0で水平に錘を打ち出した、と考えればよい）。
　これも、上記の位置エネルギーと運動エネルギーが等しいということとまったく同じで、速さｖ（変数だがθだけから計算できる）が求められます。このとき、錘の速度（移動方向）は地上（これは水平だとします）と角度θの方向です。

　ここで糸を切る、と考えます。錘の最下点と地上との距離がＨだとし、角度θのときに錘が上がっている高さがｈだとします。ｈは重力定数ｇと上記定数と

　ここで、問題を分割します。

　まず、高さＨ＋ｈから角度θで打ち出された物体が、「そこから」飛ぶ距離をＬ1とすれば、Ｌ1はいくらになるか、という問題です。ここまでで定数は、Ｌ0、ｖ0（上で述べたように最後に代入するほうが間違いにくい）、Ｈです。変数はθです。
　ｖをθ（と定数）であらわしてやり、ｈも同様にして、一時的に錘が落ちるまでの時間ｔを一時的に考える必要がありますが、それは解いていくと消えてしまい、結局出てくる式は、重力定数ｇと上記定数と変数θという一変数の式になります。つまり、Ｌ1＝ｆ(θ)といった具合。

　もし、糸を切った地点の錘の位置を、錘が飛び始めた開始位置としてよいなら、次のステップは0と置きます。

　しかし質問者様が、ブランコの最下点、こうして変更したモデルでは単振り子の錘の最下点から、どれだけ飛ぶかをお考えなら、単振り子の糸が角度θのときに、錘が最下点からどれだけ水平方向に進んだ距離Ｌ2も考えなければいけません。変数θと定数で表せ、Ｌ1＝ｆ2(θ)といった具合です。

　こうして、錘が飛ぶ距離Ｌ、つまり靴が飛ぶ距離は一変数θの式になり、

　　Ｌ＝Ｌ1+Ｌ2＝ｆ(θ)＋ｆ2(θ)

とすることができます。あとは、Ｌをθで微分してやり（ｆ'(θ)＋ｆ2'(θ)）、それについて、θを0から180度まで増やしていった場合の増減表を書いて、極致を求めれば、おのずと最大距離と、そのときのθは分かるはずです。

P.S.

　ここでは、ブランコの揺れた角度θを変数としましたが、変数を時間ｔだけでやろうとすると、解析的にはおそらく罠にはまって解けなくなるのではないかと思います。シミュレーションだと時間ｔのほうがいい場合もあるでしょうね。