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(1) M=2.0*1030[kg]、R=50[天文単位]=50*1.5*1011[m]、惑星の質量をm、万有引力定数をGとおきます。
惑星は、太陽系の中心方向に加速度aを持ちますので、その運動方程式は、ma=G*(m*M)/(R^2) →{1} [右辺は万有引力]
と書くことができます。式{1}を整理すると、
a=G*M/(R^2) →{2}
です。ここで惑星が円軌道を描いているため、惑星の角速度をωとすると、
a=R*ω^2 →{3}
の関係があります。さらに公転周期をTとおくと1周するとT秒かかるので、
ω*T=2π →{4}
の関係があります。式{3}、{4}からωを消去すると、a=R*(2π/T)^2であり、これを式{2}に代入すると、
R*(2π/T)^2=G*M/(R^2)⇔T^2=((2π)^2)*(R^3)/(G*M) →{5}
両辺の平方根をとると、T=2π*√((R^3)/(G*M))となり、後は数値を入れれば答えです。
(2) 式{5}を変形すると、
(T^2)/(R^3)=((2π)^2)/(G*M) →{6}
となり、式{6}の右辺は定数になります。これがケプラーの法則で、公転周期Tの2乗と太陽からの距離の3乗は比例関係にあります。
地球の公転周期をTo=365*24*60*60秒、地球と太陽の距離をRo=1[天文単位]=1.5*1011[m]とすると、式{6}より、
(T^2)/(R^3)=(To^2)/(Ro^3)⇔T^2=(To^2)*(R^3)/(Ro^3) →{7}
両辺の平方根をとると、T=To*√((R/Ro)^3)となり、後は数値を入れれば答えです。
いかがでしょう?
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