ブール代数

ブール代数の問題です。
わかる方はぜひお応えください。

1.次の式を証明しなさい。また、双対を書きなさい。
(1)a+a'*b=a+b
(2)(a+b)*(b+c)=a*c+b
(3)(a*1)*(0+a')=0

2.次のブール式を加法標準形にしなさい。
(1)xz+xyz
(2)xz+y'z+xyz
(3)(x+y'z)'+(xyz'+x'y)'

3.次のブール式を完全加法標準形にしなさい。
(1)xy+xz'
(2)z(x'+y)'+y'

4.次のブール式を加法標準形にし、さらに完全加法標準形にしなさい。
(1){(x'+y)'+x'y}'
(2)x(x'+y)+y'z
(3)(x'y')'(x'+xyz')
(4)(x+y)(x+yz')

結構多いのですが、丁寧な解説をお願い致します。
全部できなくて構いません。
できる問題だけでも大丈夫です。

No.4 ベストアンサー 回答者： B-juggler 回答日時： 2011/07/18 23:28

Ｎｏ．１　です。

もう時間空いたから、誰かの写すなり、自分で勉強しなおしたり

したと思う。　久しぶりに、講義と行きますかね。

ちゃんと理解してほしいからね。　顔が見えないから一方通行になることは

申し訳なく思います。

１－（１）　ａ＋ａ’ｂ＝ａ＋ｂ　を証明。双対を出せばいいんだね。
　＃論理積の「＊」は　普通使わないからね。

証明は一番簡単なのは、（左辺）の真理値表＝（右辺）の真理理表でも構わないだろう。

　＃これが一番早いね。

そうねぇ、どうやっても出そうだけど・・・。

（左辺）＝ａ＋（ａ’×１）ｂ　ａ’に論理積「１」をかける　ａ’×１＝ａ’ね

　＝　ａ＋｛ａ’×（ａ＋ａ’）｝ｂ＝ａ＋（ａａ’＋ａ’ａ’）ｂ

　＝　ａ＋（０＋１）ｂ＝ａ＋ｂ　＝（右辺）　こんな感じかな？

双対は、論理積を論理和に、変数は否定に　して真理値が同じでいいから、

項目が二つで、こういう風になるのは聞いたことがないかな？

　ド・モルガンで一発　ね。　見た瞬間に気がついてほしいね。

２－（１）　ｘｙ＋ｘｙｚを加法標準形。　

習っているかどうかは知らないけど、　
「ｘｙ」のように変数の論理積だけで表されている、最小単位を「リテラル」といいます。
　＃これは先でも出てくる！　覚えてね。

結合則が成立するから　ｘｙ（１＋ｚ）　とできるね。

（１＋ｚ）は常に　１　だね。　なので　（与式）＝ｘｙ，，　

標準形とかどうのではなく、吸収律を知っているかという問題だな＞＜

３－（１）　ｘｙ＋ｘｚ’　の完全加法標準形かぁ～・・。
これは真理値表がいるな。　Ａｌｉｃｅさんが説明してあるけどね。

完全加法標準のときは、変数が三つあるから、必ず全部使う形にしておかないといけない。
　＃電気回路なんかで、階段の踊り場、一階、二階にそれぞれスイッチがあるとき
　＃どのスイッチが入っているかによって電気がＯＮ／ＯＦＦ　とか
　＃そういう問題がでてくるんだけど、そういう時非常に役に立つ。

三箇所真理値表で該当するけど（１になるところ）、

（ｘ、ｙ、ｚ）＝（１、０，０）、（１，１，０）（１，１，１）

一番左のだと、ｙ、ｚ＝０となっているから、ｙ、ｚは否定であげる。
二番目は　ｚが否定になるね。　最後は全部１だからそのまま普通にあげていい。

（与式）＝（ｘｙ’ｚ’）＋（ｘｙｚ’）＋（ｘｙｚ）　となります。

　＃添付の真理値表はこれね。

４－（１）　｛（ｘ’＋ｙ）’＋ｘ’ｙ｝’　の完全と普通の加法標準。

うん、これは総合力だ。まずド・モルガンで整理しないと解けない。

（ｘ’＋ｙ）’　に着目。　ここにド・モルガン適用。

と、　（ｘ’＋ｙ）’＝ｘｙ’　よって　与式は

＝　（ｘｙ’＋ｘ’ｙ）’　これをもう一回　ド・モルガンをやるかな？
　＃この辺は好みもあるけど。

Ａ＝ｘｙ’　、　Ｂ＝ｘ’ｙ　とおいておきます。

（Ａ＋Ｂ）’＝Ａ’Ｂ’　なので　（ｘｙ’）’（ｘ’ｙ）’

リテラルが崩れるけど仕方ない。ド・モルガンにこだわると。

（ｘ’＋ｙ）（ｘ＋ｙ’）　とこうなるね。

分配側はそのまま成立するから

ｘ’ｘ＋ｘ’ｙ’＋ｘｙ＋ｙｙ’　＝　ｘｙ＋ｘ’ｙ’　

　＃ｘ’ｘ　＝０　だね。

真理値表もいらないね。完全加法にもできてる。

さぁ、講義は終わり。後は理解できるかどうかだけだ。

経済学なんかでも好くでてくる。

　σ(・・*)も実際に経済の学生に教えたこともあるから。

この程度で、放棄していたらこの後もっと厄介なのも出てくるぞ！

文型さんでも数学は必要になる。特にこういうものはね。

言葉遣いに気をつけて、しっかり勉強してください。

遊んでいるのなら大学なんて辞めて働いたほうがいいよ。

大学をでたことが、就職にマイナスになる可能性だってあるよ。

　あるいは、「大学でているのに、こんなこともわからないのか！」と
　怒鳴られて泣いてきた学生もいたぞ。

計算に１００％の自身はない。　検算は自分でやって。

理解するように努力をするように。　できないのなら、やらないほうがまし。

　できないことは恥ずかしいことじゃない。
　分かろうとしないことが一番の恥。

何がいけなかったか、「教えてください」と頼めばよかったんだよ？

たったそれだけ。「答えだけ下さい」これが間違いなんだよ！

分かった？　わからないのなら、２，３年留年してみるか？

それくらいの過ちだよ、これはね。

随分とお人よしだな、俺も・・・。　ヽ（・∀・）ノ　ワチョーイ　

まぁ、自分の力でどこまでいけるか、それも勉強だ！

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2011/07/15 14:29

初歩の計算練習を大量に投稿して

自分の答案を付けない態度に対する
感想は、A No.1 2 さんと同じ。
そういうまねが勘弁されるのは、
中学生までが限界かと思う。

で、「頑張ってね」で終わる訳だが、
せめてもの応援に、加法標準形の求めかた
だけ書いておく。

各変数について、変数そのものか、それの否定か
一方を選んで論理積をとったものを
最小項という。最小項の論理和が、加法標準形。
よって、各変数に真偽をもれなく代入して、
式の値が真になった最小項を
+ でつなげて並べればよい。

No.2 回答者： ninoue 回答日時： 2011/07/15 14:14

掛け算の99は習ったのだが、12*98が分らないので教えて下さい　レベルの質問ですね。

自分で苦労する事も無く答だけ教えてもらっても身につかないし応用力も付きません。

一度で頭に入らないのであれば、例題をなぞったり、演習問題を解いたりして進めていく必要が有りますね。

まず大学の講義の復習をして下さい。
講義だけでは分らないのであれば、書店に行って参考書を探すなり、
amazon等でブール代数関係の本を調べて購入するなり、
或いはネット上の親切な解説サイト等が有るので調べて下さい。

例えば次のようにサーチして調べて下さい。

ブール代数　解説
ブール代数　例題　演習問題　解答

ブール代数　双対　解説
ブール代数　加法標準形　完全加法標準形
ブール代数　加法標準形　完全加法標準形　解説

数多くのサイトが見つかります。
また、サイト内のより上位のウインドウや目次等を調べたり、
あるサイト内で関連事項が色々と説明されているらしいと分った場合、
サイト内サーチ機能を使って調べると良い場合が多いです。

"ブール代数 例題 演習問題 解答" でサーチ　==>

http://www.asahi-net.or.jp/~jk2m-mrt/reidai_ronr …
論理回路例題1 他

"ブール代数　問題"　でサーチ==>
http://www3.ocn.ne.jp/~egroup/trafic/boole1.html
ブール代数練習問題解答　他


IT技術者関連の情報が多いサイトとしては次があります。
http://www.atmarkit.co.jp/

このサイト内でブール代数の記事を調べる場合:
"ブール代数　site:atmarkit.co.jp" でサーチ　==>
http://monoist.atmarkit.co.jp/fembedded/articles …
【問題7】 真理値表からゲート回路を作る ==> 下の方を辿ると
関連記事 トレーニング　==>
連載記事「完全マスター！ 電子回路ドリル II」
http://monoist.atmarkit.co.jp/fembedded/index/el …
等も参考になりそうです。

サーチ途中で見つかった本で次等が良さそうです(見てはいませんが)
ディジタル回路演習ノート
ディジタル回路 (電気・電子系教科書シリーズ)

その他、次も参考にして下さい。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6846233.html
2進数の加減乗除の仕組み

No.1 回答者： B-juggler 回答日時： 2011/07/15 05:29

代数学の非常勤講師です（療養中）。

なんだこれは？

ダメです！　自分のことは自分でやりましょう。

何のために大学行っているのですか？

丸投げするようなら、行かなくて結構。

厳しい言い方だけど、自分で考えてください。

習ってないのなら、せめて調べて、分かるところを出してください。

「わかる方はぜひお応えください」？

質問者さんは、回答者さんに対してどういうお気持ちなんですか？

「できる問題だけでも大丈夫です」？

自分でやろうとしない人に、こういう風に言われると腹が立つだけです。