複素数 極形式 ド・モアブルの定理

複素解析を勉強しているのですが、わからないところがあり教えていただきたいです。

複素数を極形式r(cosX+isinX) (r≧0, -π≦X＜π)に直し、ド・モアブルの定理を用いてa+bｉの形に直しなさい。
(1)(1+(√5)i)^-5
(2){(1-(√3)i)/(1+√3)}^2011

(1+i)^11のような基本的な形ならわかるのですが、^-5や分数になるとわからなくなります。
お願いします(__

No.3 回答者： noname#157574 回答日時： 2011/07/17 15:14

　次期指導要領では高校数学に複素数平面が復活します。

複素数平面の応用として，三角関数の加法定理や合成，曲線の回転が考えられます。

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2011/07/16 18:44

(2)は、当にドモアブルを使うべき場面ですね。

極形式にすると、偏角がπの有理数倍になって、
2011 乗が簡単に処理できる。

(1) は、5 乗の -1 乗と考えて、
5 乗を地道な展開か二項定理かで計算した後、
逆数の分母を有理数化すればよいです。
偏角がキレイな値にならないと、
ドモアブルは使いようがないでしょう。

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2011/07/16 14:49

(1)

自然数乗の場合と全く同じ。
1+(√5)i=r(cosX+isinX)と変形すると
{1+(√5)i}^(-5)={r(cosX+isinX)}^(-5)={r^(-5)}{(cosX+isinX)^(-5)}={1/r^5}{cos(-5X)+isin(-5X)}
となります。
ド・モアブルの定理は指数がどんな数字でも(複素数でも)成り立つ。

(2)
分数の中をあらかじめ有理化しておくと良いでしょう。