x^2+2xy-3y^2-6x-14y+5

Question

x^2+2xy-3y^2-6x-14y+5を因数分解する問題で、少し解いたのですが、『たすきがけ』が上手くいかずお手上げなので教えて下さい。

nattocurry · Accepted Answer

-(3y-1)(y+5)
=(3y-1){-(y+5)}
=(3y-1)(-y-5)

x^2+(2y-6)x+(3y-1)(-y-5)
=x^2+{(3y-1)+(-y-5)}x+(3y-1)(-y-5)
={x+(3y-1)}{x+(-y-5)}
=(x+3y-1)(x-y-5)

alice_44 · Answer

さしあたりは、この一問の答えが重要なのだろうが、
因数分解のような基本事項については、
お手上げになったときどうするかを
平素から考えておくことを勧める。

mister_moonlight · Answer

＞せっかくNO1さんやNO2さんがヒントだけでやめてるのに回答しちゃだめですよ～

丸投げ質問が許されている以上、丸回答も許されるし　違反ではない。

http://faq.okwave.jp/EokpControl?&tid=950130&event=FE0006

したがって、丸回答するかどうかは、回答者の勝手。
そして、その丸回答をどのように利用するかは、質問者の自己責任の問題。
それは　回答者の関知する事ではないし、ましてや、回答に関係のないギャラリーが口を出す事ではない。
それが許せないなら、このサイトから退室すればよい。それだけの事。

momordica · Answer

教科書的には＃４さん（４つめの方法）、＃５さんの解き方が基本でしょう。

あとは、こんな感じに書いて、まとめてたすき掛けするという手もあります。

ｘ　＼／　-ｙ　＼／　－５　→　－xy　　－５ｘ　　－１５ｙ　　
　ｘ　／＼　３ｙ　／＼　－１　→　３ｘｙ　　　－ｘ　　　　　ｙ
――――――――――――――――――――――――
x＾２　　－３y＾２　　　　　５　　　　２ｘｙ　　－６ｘ　　－１４ｙ

まあ、まとめてと言っても実際には一つずつ埋めていくことになるので、
２回に分けてたすき掛けするのと本質的には変わりません。
私自身、この図を書くことはしませんが、大体頭の中で似たようなことをして
因数分解してます。

他には、ｘについて整理した後、平方完成を利用するというやり方もあります。

x^2+2xy-3y^2-6x-14y+5
 ={ x^2+(2y-6)x } -3y^2-14y+5
 ={ x+(y-3) }^2-(y-3)^2 -3y^2-14y+5
 =(x+y-3)^2 -4y^2-8y-4
 =(x+y+3)^2 -4(y+1)^2
 =(x+y+3)^2 -(2y+2)^2
 ={ (x+y+3)+(2y+2) } { (x+y+3)-(2y+2) }
 =(x+3y+5)(x-y+1)

回答はヒントだけにとどめるべきとおっしゃる方もいらっしゃるとは思いますが、
それでわかるくらいなら質問してないでしょう。
これで、類題を数問まとめて投稿していたりしたら、私も「丸投げ禁止！」と言う
ところですが。

nattocurry · Answer

x^2+2xy-3y^2-6x-14y+5
=x^2+(2y-6)x-(3y^2+14y-5)
=x^2+(2y-6)x-(3y-1)(y+5)
=x^2+(2y-6)x+(3y-1)(-y-5)
=(x+3y-1)(x-y-5)

info22_ · Answer

#1さんの方法は強引な方法で因数分解できる場合は最後の手です。ただたすき掛け法とはいえません。
xの2次方程式として解の公式を使う方法
　解をf1(y),f2(y)とするとx^2の係数が1であることを考慮して
　(x-f1(y))(x-f2(y))と因数分解結果が求まります。
と
yの2次方程式として解の公式を使う方法
　解をg1(x),g2(x)とするとy^2の係数「-3」を前につけて
　-3(y-g1(x))(y-g2(x))と因数分解結果が求まります。
があります。

#2さんの方法はたすき掛け法を2回使って因数分解する方法で
最初はx,yの２次の項だけで因数分解します。
x^2の係数が1であることから　(x+ay)(x+by)という形に因数分解できます。
A=(x+ay),B=(x+by)と考えれば、2回目のたすき掛け法で
(A+c)(B+d)という形に因数分解できます。

別のたすき掛け法を2回使う方法として
xを含まない項を最初に因数分解して、次にxを含めたたすき掛け法をして最終的な因数分解結果を得る方法
　具体的にはまず「-3y^2-14y+5」をたすき掛け法で因数分解して(-3y+1)(y+5)を得ます。
　2回目のたすき掛け法で{(-3y+1)-x}{(y+5)-x}=(x+3y-1)(x-y-5)を得ます。
yを含まない項を最初に因数分解して、次にyを含めたたすき掛け法をして最終的な因数分解結果を得る方法
　具体的にはまず「x^2-6x+5」をたすき掛け法で因数分解して(x-1)(x-5)を得ます。
　2回目のたすき掛け法で{(x-1)+3y}{(x-5)-y}=(x+3y-1)(x-y-5)を得ます。

実際の答案はやりやすい方法で1通りだけ解けば良いです。
解き方がたすき掛け法と指定してあれば、上の2つの方法または#2さんのx,yの2次の項の和を因数分解してから、2回目はそれらの因数と定数項のたすき掛け法で最終的な因数分解結果を得る方法のいずれか１通りで解答すればいいですね。

mister_moonlight · Answer

確かに、タスキがけは慣れないと面倒ではある。
だからと言って、解の公式を“表に出して”解くのは、反則に近い。
記述式なら、ひょっとすると減点されるかもしれない。
したがって、減点される恐れのないように解いてみよう。

x^2+2xy-3y^2-6x-14y+5＝x＾2＋(2y-6)x-(3y-1)*(y+5)と　ここまでは良いだろう。
ここで、タスキがけが必要になる。それがわからないから、困ってるんだろう。

x＾2＋(2y-6)x-(3y-1)*(y+5)＝0とすると、判別式＝(2y+2)＾2　だから、x＝(3-y)±(2y+2)。
x＝y+5、or、1ー3y　だから、x＾2＋(2y-6)x-(3y-1)*(y+5)＝{x-(y+5)}{x-(1ー3y)}　となる。

以上は、答案に書かないで　知らん顔して。。。。。ｗ　x^2+2xy-3y^2-6x-14y+5＝x＾2＋(2y-6)x-(3y-1)*(y+5)＝{x-(y+5)}{x-(1ー3y)}　としてやる。簡単に“タスキがけ”ができた振りして。。。。爆

はっきり言って、これは邪道だが、どうしても“タスキがけ”がわからなかったときの、窮余の一策。

hrsmmhr · Answer

x^2+2xy-3y^2=A(x,y)B(x,y)　　:A(x,y),B(x,y)はax+byのような１次式
の因数分解を解きます、
aの部分をそれぞれ1と1、-1と-1で
bの部分をそれぞれ3と-1、1と-3で
のタスキ掛けの場合を考えればいいと思います

A(x,y)B(x,y)-6x-14y+5は
A(x,y)*c+B(x,y)*d：(cとdが1と5、-1と-5)
のタスキ掛けの組み合わせで
=-6x-14y
となるようにやってみてください

alice_44 · Answer

x^2+2xy-3y^2-6x-14y+5=0 を、係数に y を含む
x の二次方程式と思って、解の公式で解きます。

x^2+2xy-3y^2-6x-14y+5

-(3y-1)(y+5)

さしあたりは、この一問の答えが重要なのだろうが、

＞せっかくNO1さんやNO2さんがヒントだけでやめてるのに回答しちゃだめですよ～

教科書的には＃４さん（４つめの方法）、＃５さんの解き方が基本でしょう。

x^2+2xy-3y^2-6x-14y+5

#1さんの方法は強引な方法で因数分解できる場合は最後の手です。

確かに、タスキがけは慣れないと面倒ではある。

x^2+2xy-3y^2=A(x,y)B(x,y) :A(x,y),B(x,y)はax+byのような１次式

x^2+2xy-3y^2-6x-14y+5=0 を、係数に y を含む

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