二次方程式（解の配置）

Question

二次方程式の解が
共に正なら
Ｄ＞0
ｆ(0)＞0
軸＞0
共に負なら
Ｄ＞0
ｆ(0)＞0
軸＜0
正と負なら
ｆ(0)＜0

テキストには解が正と負のときは、ｆ(0)＜0という
これひとつだけで場合わけはＯＫとありました。
この意味がわかりません。
どうして、判別式や、軸の場合わけが必要でないのか
わかりません。

ticky · Accepted Answer

これは、 f(x)=ax^2+bx+c で、 a>0（下に凸）の場合ですね。簡単に考えてみます。下に凸の二次方程式が、二つの解を持ち、その配置を考えます。まず、y=f(x)=ax^2+bx+c のグラフを考えてください。１．二つの解が、共に正のとき。 x>0（xが正）の部分で、二次方程式のグラフとx軸が交わります。こうなるための条件は何かというと、 (1) グラフがx軸と交わるこの条件は、判別式>0 (2) グラフが、右寄りにある。こうすれば、少なくとも解の片方は、x>0にある。この条件は、軸>0。頂点のx座標>0と言い換えてもいい (3) もう一方の解も、x>0にある。解の片方が、x=0にあるとき、原点(0,0)の下をグラフが通ると、もう片方の解は、x<0にあることになる。もし、グラフが原点(0,0)の上を通ると、グラフは右寄りにある場合、解のもう片方も、x>0にある。よってこの条件は、f(0)>0 ２．二つの解が共に負のとき。二つの解が共に正のときとの違いは、右寄りか左よりかの違いです。 (1) 判別式>0 (2) グラフが左寄りにあれば、少なくとも解の一方はx<0にあるので、軸<0 (3) グラフが左寄りにあるとき、グラフが原点より上を通れば、ほう片方の解もx<0にある。よってf(0)>0 ３．二つの解が、正と負に分かれている場合。今考えているのは、下に凸のグラフです。原点(0,0)の下を、グラフが通るとき、グラフはy<0の部分から、上に伸びていって、x>0と、x<0の部分の両方で、x軸と交わります。この条件が、f(0)<0です。右寄りか左寄りかは、関係ないので、軸の条件も必要ありません。また、このとき、必ずx軸と交わっています。判別式>0になっているので、判別式を計算する必要はありません。

ticky · Answer

>a＞0、f(0)＞0のとき、判別式を用いるのは、f(0)＞0であっても二次関数の底がx軸と交わらなくなってしまうこと(解なしとなること)を防ぐためなんですよね？
>だけど、f(0)が0以下のどんな値であっても、0以下という条件を満たしていれば正と負の解を得られることができるので、判別式や軸の条件を示す必要がなくなるということですね？

いずれも、そのとおりです。
もし、a<0だったとしても、同じように考ればよいです。
（上下が逆になっているので、f(0)についての条件が逆になるだけです）
では、がんばってください。

ticky · Answer

>a＞0、f(0)＞0のとき、判別式を用いるのは、f(0)＞0であっても二次関数の底がx軸と交わらなくなってしまうこと(解なしとなること)を防ぐためなんですよね？
>だけど、f(0)が0以下のどんな値であっても、0以下という条件を満たしていれば正と負の解を得られることができるので、判別式や軸の条件を示す必要がなくなるということですね？

いずれも、そのとおりです。

数学の問題（数学以外でも、物理などに当てはまりますが）では、どの条件で、どこまで絞っているかということが、結構重要です。
必要のない条件について計算するのは、悪くはないけれど、入試では大きなロスになります。
（ただ、実際には必要のない条件でも計算してしまうことが多いし、無駄をするよりも、正確であることの方が重要なので、計算が速くできると得します。）
では、がんばってください。

fushigichan · Answer

JEANS-Pさん、こんにちは。まず、 y=f(x)=ax^2+bx+c=a(x-α)(x-β) とすると、＞二次方程式の解が共に正ならＤ＞0 ｆ(0)＞0 軸＞0 ということは、 α>0,β>0ならばf(0)>0となっている、ということは図を描いてみれば、x^2の係数は正であることは明らかです。下に凸のグラフになっていますから。なので、この問題では y=f(x)=ax^2+bx+cとおくと、a>0の条件下で考えていることになります。 (a<0だったら、α>0,β>0のときもα<0,β<0のときも、 f(0)<0という条件に変わります）＞テキストには解が正と負のときは、ｆ(0)＜0というこれひとつだけで場合わけはＯＫとありました。この意味がわかりません。どうして、判別式や、軸の場合わけが必要でないのか実際確かめてみればいいと思います。２実解を持つので D=b^2-4ac>0のはずですね。・・・(1) 図を描いてみれば、軸は正か負かは、決定できません。しかし、x=0のときのyの値は、負になっていることが図から分かると思いますので f(0)=c<0 という条件が出てきます。実は、(1)はc<0ならばいえちゃうんですね。 D=b^2-4acにおいてb^2≧0,c<0なら-c>0ですがa>0ですから 4ac>0 したがってb^2-4ac>0 　　　　　↑　　↑ 　　　　０以上　正からいえますね。なので、結局のところf(0)<0という条件で、すべてカバーできちゃうというわけです。ご参考になればうれしいです。

noname#5537 · Answer

#3 での daisangenn さんのご指摘に関してです。

#2 で私が書いたのは，
「f(0)<0 ⇒ ２次方程式の解が２つありそれが正と負一つずつである」
の証明でした。

x^2 の係数(a) が正という条件が無ければ，この命題が「偽」となることはご指摘のとおりです。
従いまして，#2 の冒頭で a > 0 という条件をつけさせていただきました。
おそらく JEANS-P さんがご覧のテキストもそのような前提になっていると思います。ご確認ください。

「２次方程式の解が２つありそれが正と負一つずつである ⇒ f(0)<0」
についても，x^2 の係数(a)が正という条件が無ければ「偽」です。
反例は，
　f(x) = - x^2 + 4

a > 0 という条件があれば，
αβ < 0 から c/a < 0 となって，c < 0 すなわち f(0) < 0 が得られます。

daisangenn · Answer

(1)２次方程式の解が２つありそれが正と負一つずつである⇒f(0)<0…真ですが、 (2)f(0)<0⇒２次方程式の解が２つありそれが正と負一つずつである…偽です。まず、(2)の判例を挙げます。実際にグラフを書くと分かると思います。 f(x)=-x^2-4 次に(1)が真である理由は・・・#2のyoppiさんの説明で大体大丈夫だと思いますが一箇所だけ訂正しておきます。 >>　f(0) = c >>ですから，f(0) < 0 ならば，c < 0 です。 >> >>このとき，a > 0, c < 0 より， >>　D = b^2 - 4 a c > 0 >>が成り立ちます。まず、c<0になるのはいいと思います。次ですが、班別式D=b^2-4ac となり、解が二つあるという条件から D>0 またc<0,bは実数(ですよね。つまり虚数ではない)より、 a>0になる。あとは、yoppiさんが書いてあるとおりだと思います。

noname#5537 · Answer

　f(x) = a x^2 + b x + c

とします。a, b, c は任意の実数。
ただし，a > 0 という条件をつけておきます。

　f(0) = c
ですから，f(0) < 0 ならば，c < 0 です。

このとき，a > 0, c < 0 より，
　D = b^2 - 4 a c > 0
が成り立ちます。

よって，方程式 f(x) = 0 には異なる 2 つの実数解が存在します。
これらの解を α, β としておきましょう。

すると，解と係数の関係から，
　α β = c/a
が得られます。a > 0, c < 0 ですから，
　α β < 0
となって，結局 α と β は異符号となります。

以上のように，
f(0) < 0 であることさえ言えば，
f(x) = 0 が異なる2つの実数解を持ち，それらが異符号であることが言えてしまうのです。

sanori · Answer

説明の簡単化のため、全ての場合は列挙しません。

・解が正と負のとき
　　→曲線がＸ＝０より左と右で各々１箇所Ｘ軸（Ｙ＝０）と交わる
　　Ｘ^2 の係数が正[負]ならば曲線は下[上]に凸ということである
　　したがって、「ｆ（０）＜０」というテキストの記述は、Ｘ^2 の係数が正のときのみに言える事であって、厳密には誤りです。
通常は y = f(x) = x^2 + bx + c = 0 の形（＝x^2 の係数が１）の場合に限ってテキストのような説明が適用されます。


・その他の場合

（１）解が重解（＝解が１種類）のとき、
　　　　Ｄ＝０
　　　　曲線はＸ軸に接する
　　　　Ｘ^2 の係数が正[負]ならば下[上]に凸の曲線
　　　　ｆ（任意のＸ）≧０　,[ ｆ（任意のＸ）≦０ ]

（２）解が実数でないとき
　　　　Ｄ＜０
　　　　曲線はＸ軸に接触しない
　　　　Ｘ^2 の係数が正[負]ならば下[上]に凸の曲線
　　　　ｆ（任意のＸ）＞０　,[ ｆ（任意のＸ）＜０ ]


等々...。

二次方程式（解の配置）

これは、

この回答への補足

>a＞0、f(0)＞0のとき、判別式を用いるのは、f(0)＞0であっても二次関数の底がx軸と交わらなくなってしまうこと(解なしとなること)を防ぐためなんですよね？

>a＞0、f(0)＞0のとき、判別式を用いるのは、f(0)＞0であっても二次関数の底がx軸と交わらなくなってしまうこと(解なしとなること)を防ぐためなんですよね？

JEANS-Pさん、こんにちは。

#3 での daisangenn さんのご指摘に関してです。

(1)２次方程式の解が２つありそれが正と負一つずつである⇒f(0)<0…真

f(x) = a x^2 + b x + c

説明の簡単化のため、全ての場合は列挙しません。

この回答への補足

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