１階非同次線形微分方程式の解法について

Question

難しすぎてよくわからないので質問します。
いろんなサイトを見てもよくわからなかったので分かりやすい回答おねがいします。
みなさんから見れば、なぜこんなことも分からないの、なにを言っているの？と思うのかもしれませんが、丁寧に解説してくれるとありがたいです。

非同次方程式の一般解＝同次方程式の一般解＋非同次方程式の特殊解となるようですが、
なぜこれが成り立つのかわかりません。
いろんなサイトみたのですが、数式がいっぱい書いてあってなにがなんだかわからない状態です。
まだ、変数分離の解法しかやっていないので、難しいことを言われても分からなくなってしまいます。

まず、１階線形微分方程式は、dy/dx+f(x)y=g(x)などのように表されるということは分かりました。

そしてこのg(x)を０としたものが非同次となるわけですよね。

つまり、dy/dx+f(x)=０です。

そしてこの解法として、まずy=u(x)が同次方程式の一般解としようと書いてあります。
ですが、もうこの時点でよくわからないです。

なぜ一般解としようと考えたのかってとこに疑問があります。
特殊解でもなく、なぜ一般解なのかということです。

そして、これを代入すると、du(x)/dx+f(x)u(x)=0となるのはわかります。
ただ代入するだけなので。

次に、y=v(x)を非同次方程式の特殊解としようと書いてあります。
でもなぜ非同次方程式の特殊解にするのかわかりません。
同次方程式の特殊解と考えてはだめなのかと思ってしまします。
まさか適当においたとも思えませんし。

なにかの考えがあってのことだと思いますし。

ようするに、なぜこのようにおいたのか、道筋というか目的ってのがよく見えないのです。

いったいなにをやっているのか。

たぶん一般解と特殊解の関係？みたいなのがわかっていないので、悩んでいるような気がします。

つまり、

非同次方程式の一般解＝同次方程式の一般解＋同次方程式の特殊解とおくことはできないのかと。

質問の意味あまりわからないかもしれませんが、すいません。

わからなすぎて、なにが分からないのかもわからない状態で。

丁寧に解説してくれるとありがたいです。

noname#152422 · Accepted Answer

1番です。

論理としては、1番の冒頭部分だけで十分であって、線形空間について知っている必要はありません。ただ、知っていると理解が深まるので、紹介しました。

でもかえって混乱してしまったようですね。

いただいた補足について、すでにフォローしてもらっているので重複してしまいますが追加回答します。

> つまり、(2)の解が２つ、vとuが得られたなら、a,bを任意定数と仮にしたときに、それを足したav+buも解になるよということを意味しているのでしょうか？

そうです。ただし、そこから出発して、Vが線形空間の公理を満たすことを確かめないと、この議論はあなたにとって意味がありません。

> (1)の解
> なぜ線形空間にならないのでしょうか？

公理をみたさないから。直接的には０が存在しないので公理を満たさない。０というのはどんなxに対してもy(x)=0となる関数yのことです。(1)の方程式のyに０を代入すると、任意のxについて0=g(x)となって矛盾します。

> ＡとＶの共通部分が空集合

これは上記と同じことです。もしA∩V≠φならば、ある関数yが存在してyは(1)の解でもあり(2)の会でもあるということになりますが、これは任意のxについて0=g(x)を意味するので矛盾します。

yが方程式(1)の一般解であるとは、(1)の任意の解をいっぺんに全部表現したものということです。一般解というのは一つの解ではなくて、たくさんの解を表していることに注意してください。上の説明でAを与えるのと同じことです。

特殊解というのはそんな色んな解のうちの一つのことです。

たとえば、dy/dx=2x+1という微分方程式だったら、一般解はy(x)=x^2+x+Cという形になります。例えばz(x)=x^2+x+3はdy/dx=2x+1の解ですが、このときは一般解yでたとえばC=3とおいたものy_0=x^2+x+3は特殊解です。

つまり、

> 一般解のひとつの解として特殊解があるのでしょうか？

の答えとしては、「一般解のひとつとして特殊解がある」です。

> t=0,t=1,t=2・・・・t=∞までの特殊解の足し合わせが一般解になるということなのでしょうか？

これは違います。それだと一つの解しか表さなくなり、その和自体が（もしAの中で収束すれば）一つの特殊解になってしまいます。一般解とは一つの関数のことではなくて、関数族（つまり関数の集合）のことなのです。関数族に属するメンバーの一つが関数（特殊解）なわけです。

Tacosan · Answer

ん～と,
dy/dx+f(x)y の値が同時に 0 と g(x) になることはあり得ない
があまり明白だと感じないということだけど,

「A さんと B さんが同じ計算をしたところ, A さんは 0, B さんは 8 を答えとしました」
っていうのがおかしいとは思いませんか?

FT56F001 · Answer

初期値というアプローチから，一般解と特殊解を考えてみます。

一般解とは，未知の積分定数を含んでいて，まだ初期値が決まっていないときの解です。
線形微分方程式の場合，初期値が決まると何倍かして初期値に合うように調整できる解です。

特殊解とは，微分方程式として与えられる初期条件とは無関係に，解自身で初期値が決まっている，融通の利かない解です。

非同次方程式の特殊解をひとつ決める。これは融通の利かない解ですが，
微分方程式に代入すると，まずは右辺のg(x)になってくれます。

これだけでは，与えられた初期条件に合わせることが出来ません。
そこで，同次方程式の一般解をもってきて，何倍かして足してやる。
これで初期条件のつじつまを合わせることが出来ます。
そんな勝手な足し算してもよかったの? という疑問が出てきますよね。ところが同次方程式の解になっているので，左辺にこっそり足しても，微分方程式の右辺に影響が出ないようにしてあるのです。

雑な説明ですが，直感的なイメージをお話しました。

alice_44 · Answer

同時じゃなく、同次です。斉次ともいいます。
御自分でも「同次」と書いているようですが…

0が隠れているというのは、悪くない考え方です。
dw/dx+f(x)w=0 かつ
dy0/dx+f(x)y0=g(x) であれば、
式の辺々を足して
d(w+y0)/dx+f(x)(w+y0)=0+g(x)
となります。右辺が 0+g(x) ですね。

w が dw/dx+f(x)w=0 を
y0 が dy0/dx+f(x)y0=g(x) を満せば、
y = w + y0 が dy/dx+f(x)y=g(x) を満たします。
この y = w + y0 のことを、
＞ 非同次方程式の一般解＝同次方程式の一般解＋非同次方程式の特殊解
と書いているのです。

ひとつの y が
dy/dx+f(x)y=0 と
dy/dx+f(x)y=g(x) を
同時に満たす訳ではありません。
それが起こるのは、g(x)≡0 の場合だけです。

Tacosan · Answer

「線形云々」のところを勝手にフォロー:
最初の段落はその通りです. 実際, u(x) と v(x) をどちらも dy/dx+f(x)y=0 の解とすると
du/dx + f(x) u = 0, dv/dx + f(x) v = 0
だから任意の定数 a, b に対して
d(au+bv)/dx + f(x) (au+bv) = a[du/dx + f(x) u] + b[dv/dx + f(x) v] = 0
であり, au+bv という関数も解になってますね.

次の段落については「線形空間」の認識が不十分です. 線形空間であるためには「線形性」が大切です. そして, 非同次線形微分方程式の解は線形性を満たしません. つまり, (今の場合に翻訳すると) 「u と v が解なら任意の定数 a, b に対して au+bv も解である」という条件を満たしません.

たとえば dy/dx+y = 1 の解は y = 1 + Ce^(-x) ですが, このような解を 2つ持ってきて ay_1 + by_2 を考えると普通は dy/dx+y = 1 の解にはなりませんよね (ただし a+b=1 という特殊な場合には解であることが確認でき, そのような状況は「アフィン空間」という用語でとらえることができます).

「AとVとの共通部分は空集合」は
dy/dx+f(x)y の値が同時に 0 と g(x) になることはあり得ない
ということから明白かと.

で一般解と特殊解との関係は (#2 にも書かれていますが)
一般解の 1つが特殊解
です. 「一般解は、いくつもの特殊解の足し合わせで表される」ということではありません (上の例を考えてみてください).

alice_44 · Answer

＞ 一般解のひとつの解として特殊解があるのでしょうか？

そのとおりです。

＞ 非同次方程式の一般解＝同次方程式の一般解＋非同次方程式の特殊解

という書きかたが解かりにくいのだと思いますが、これは、

非同次方程式の全ての解は、同次方程式のどれかの解と非同次方程式のひとつの解の和
で表される。
その「非同次方程式のひとつの解」は、「全ての解」について共通にしておくことができ、
あてはまる「同次方程式のどれかの解」が見つかることになる

とういうことを言っているのです。特殊解は、非同次方程式の一般解の中から
どのひとつを選んでも構いません。

noname#152422 · Answer

非同次の方程式は

(1) dy/dx+f(x)y=g(x)　（∃x:g(x)≠0）

であり、これに対応する同次方程式は

(2) dy/dx+f(x)y=0

であるというところまでは認識してるのですね？

たぶん教科書では、(1)の一般解をy、特殊解をy_0としたとき、y-y_0が(2)の解である。したがって、（(1)の一般解）＝（(2)の一般解）＋（(1)の特殊解）、のように書いてあると思いますが、それがわからないということでしょうか。

まず、(2)の解全体Vは一つの線形空間になります。つまり、uとvが両方共(2)の解で、a、bが任意の定数（実数や複素数）ならば、(au+bv)(x)=a(u(x))+b(v(x))で定義される関数au+bvも(2)の解になります。

まずそれを確認してください。

(1)の解全体Aはどうでしょうか？これは線形空間にはなりません。また、AとVとの共通部分は空集合です。確かめてみてください。

では、(1)の解と(2)の解の間にどういう関係があるかというと、(1)の特殊解y_0を一つとって、V+y_0=Aという関係にあります。

これは、ユークリッド空間で原点を通る平面と、その平面に平行で原点を通らない平面との関係と同様です。

実際、V+y_0=Aは以下のようにして証明されます。

（V+y_0⊃A）　∀y∈Aに対してyは(1)の解だから、y-y_0は(2)の解になります。つまりy-y_0∈V。

（V+y_0⊂A）　∀u∈Vに対してuは(2)の解だから、u+y_0は(1)の解になります。つまりu+y_0∈A。

特殊解y_0はA上の点ならどれでも構いません。

V+y_0=Aとはすなわち、

（(1)の一般解）＝（(2)の一般解）＋（(1)の特殊解）

のことです。

説明が冗長になりますが、(2)は線形空間なので、(2)の一般解と(2)の特殊解を足したものは相変わらず(2)の解です。(1)の解になるはずがありません。

一方、(1)の二つの解の差は必ず(2)の解になります。(1)の解にはなりません。

１階非同次線形微分方程式の解法について

1番です。

ん～と,

初期値というアプローチから，一般解と特殊解を考えてみます。

同時じゃなく、同次です。

「線形云々」のところを勝手にフォロー:

この回答への補足

＞ 一般解のひとつの解として特殊解があるのでしょうか？

非同次の方程式は

この回答への補足

似たような質問が見つかりました

関連するカテゴリからQ&Aを探す

デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング

マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング

＞一般解のひとつの解として特殊解があるのでしょうか？