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No.1
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正弦定理から、a=2RsinA、b=2RsinB、c=2RsinC。
これを条件式に代入すると(a^2+b^2+c^2)/R^2=4{sin^2A+sin^2B+sin^2C}となる。簡単な方からやってみよう。
・直角三角形の場合
4{sin^2A+sin^2B+sin^2C}=8 だから、2倍角の公式を使うと、sin^2A+sin^2B+sin^2C=3/2-1/2{coc2A+cos2B+cos2C}=2 つまり、coc2A+cos2B+cos2C+1=coc2A+cos2B+2{cos2C+1}=2cos(A+B)cos(A-B)+2cos^2(A+B)=cos(A+B)*cosA*cosB=0.
これを解くと、どれかは π/2. 逆は自明。
・正三角形
これはちょっと面倒みたいだ。
条件から coc2A+cos2B+cos2C=-3/2 になる。
ここで coc2A+cos2B+cos2C の値域を考えてみよう。
coc2A+cos2B+cos2C=2cos(A+B)*cos(A-B)+cos2C≦2cos(A+B)+cos2C=-2cosC+2cos^2C-1=2(cosC-1/2)^2-3/2。‥‥(1)
coc2A+cos2B+cos2C=-3/2となるから、(1)で cosC-1/2=0。
この時、C=π/3、A-B=0 → cos(A-B)=1 の時。つまり、A=B=C=π/3。逆は自明。
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