重積分・積分について

重積分・積分の問題です。

1 ∫[0,2π]cosmxcosnxdx (m,n∈Z)

まず和積公式を使って
cosmxcosnx=1/2{cos(m+n)x+cos(m-n)x}とし、
0→2πで積分して
1/2[1/m+n*sin(m+n)x+1/m-n*sin(m-n)x][0→2π]

ここまでは解けるのですがここから解くことが出来ませんでした。

積分区間が０のときはsin０=0ですので考えないとしたんですが、
2πの時にするであろう場合分けが思いつきません。
ここから回答をお願い出来ないでしょうか。

また自分の回答に自信があまり無いので
以下の問題の答えを教えていただけないでしょうか。

2 d/dx(arcsinx)^2
=2arcsinx/(√1-x^2)

3 ∫∫∫D dxdydz/{√1-(x^2+y^2+z^2)} (D={(x,y,z)∈R^3|x^2+y^2+z^2≦1})
被積分関数は1/{√1-(x^2+y^2+z^2)}より x^2+y^2+z^2=1上の点が特異点の広義積分である。
ここでDa:x^2+y^2+z^2≦a^2とおく。ただしa>0とする。
極座標(r,θ,ψ)を定める。
x=rsinθcosψ
y=rsinθsinψ
z=rcosθ とおくと
Daは Ea:0≦r≦a, 0≦θ≦π,0≦ψ≦2πにうつる。

またヤコビアンはr^2sinθである。

計算は省略します。
積分すると4πa^5/5となり、
lim [a→1-0]として 答えは4π/5 でしょうか。

文章読みにくくてごめんなさい。
回答お願いします

No.1 回答者： FT56F001 回答日時： 2012/03/15 13:08

1だけ

m,nが整数ですから，x=2πの時のsin{(m+n)2π}=0，sin{(m-n)2π}=0です。
ただし，m=nのときは，∫cos(m-n)xdx={sin(m-n)x}/(m-n)と積分できません(分母が0になってしまう)。
m+n=0のときも同様です。この二つを特別扱いします。

No.2 回答者： FT56F001 回答日時： 2012/03/15 14:36

>3 I=∫∫∫D dxdydz/{√1-(x^2+y^2+z^2)} (D={(x,y,z)∈R^3|x^2+y^2+z^2≦1})

半径1の球内の体積積分なので，
I=∫[0から1]1/sqrt{1-r^2}4πr^2dr
と変形できて，(π^2)になりそうだけど??

No.3 回答者： 151A48 回答日時： 2012/03/16 15:12

１．m≠n , m≠-n　のとき 0 , m=n, m=-n のときπ

２．(arcsin x) ' =1/√(1-x^2) は公式。
　　{(arcsin x)^2} ' =2(arcsin x )・｛1/√(1-x^2) ｝　と合成関数の微分。

３．３次元極座標に変換すると　∫∫∫{r^2/√(1-r^2) }sinθdrdθdψ
　∫{r^2/√(1-r^2) }dr　の積分は　r/√(1-r^2)　の原始関数が-√(1-r^2)　であることより
　-r√(1-r^2)]+∫√(1-r^2) dr と部分積分。積分区間0→1でやってしまえばπ/4
つぎに　(π/4)sinθをθについて0→πで積分して　π/2
　さらにπ/2　をψについて0→2πで積分して　π^2
厳密には∫{r^2/√(1-r^2) }dr　の積分は0→aでやってa→1の極限をとれということのようです。
　√(1-r^2)　の0→aでの積分はr=sinωとおきかえると
r 0→a　に対して　ω　　0→arcsin a (=αとおく) で，計算して
(1/2){α+(1/2)sin2α}=(1/2){α+sinαcosα}=(1/2){α+acosα}→π/4 (a→1)
（a→1　のときα→π/2　より）