4つの平面ベクトルが一次独立だったとき

4つの平面ベクトル(2次元ベクトル)があり、a,b,c,dと書くことにします。
どの二つをとっても一次独立とします。
ゼロベクトルを単に0と書くことにします。
p[1]などは実数とします。

明らかに
p[1]a+q[1]b=0 ⇔ p[1]=0 , q[1]=0
です。また、
p[1]a+q[1]b+r[1]c=0 , p[2]a+q[2]b+r[2]c=0 ⇔ p[1]：q[1]：r[1]=p[2]：q[2]：r[2]
です。では、
p[1]a+q[1]b+r[1]c+s[1]d=0 , p[2]a+q[2]b+r[2]c+s[2]d=0 , p[3]a+q[3]b+r[3]c+s[3]d=0
だったら、係数の関係はどうなるのでしょうか?

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2012/03/31 06:23

p[1]：q[1]：r[1]：s[1]=p[2]：q[2]：r[2]：s[2]=p[3]：q[3]：r[3]：s[3]

となりませんか？

この回答へのお礼

ありがとうございます。質問文の
p[1]a+q[1]b=0 ⇔ p[1]=0 , q[1]=0
というのは、a,bが一次独立な2次元ベクトルの定義で、今回の疑問は、それが3項以上になったらどうなるのかということでした。

いま考えてみると、質問文の
p[1]a+q[1]b+r[1]c=0 , p[2]a+q[2]b+r[2]c=0 ⇔ p[1]：q[1]：r[1]=p[2]：q[2]：r[2]
は、記述が正しくありませんでした。すみません。

一次独立な3つの平面ベクトルa,b,cがあったとき、
cは一意的にaとbの線形結合でかけます。したがって、
pa+qb+rc=0
となるような実数p,q,rは、定数倍を除いて一意的です。

p[1]a+q[1]b+r[1]c=0 (ただし、p[1]、q[1]、r[1]はすべて0、ということはない)のとき、
p[2]a+q[2]b+r[2]c=0
⇔
p[1]：q[1]：r[1]=p[2]：q[2]：r[2]

というのが正しい記述と思います。係数がすべて0という自明の関係式は除いて、p[1]a+q[1]b+r[1]c=0 という関係式(係数における特性解)を見つければ、他の関係式(係数における一般解)はその定数倍に限られるという意味です。

そういった意味の元で、4項になるとどうなるのか、というのが疑問でした。

pa+qb+rc+sd=0
となるような実数p,q,r,sはたくさんありますが、自明でないように2つを見つけてきたとき、他の解はその2つから、一次結合を作るだけですべて導き出せるという結論に達しました。

r,sを固定すれば、pa+qb+rc+sd=0を満たすp,qはそれぞれr,sの一次結合で一意的に表すことができます。
幾何学的イメージとしては、pa+qb+rc+sd=0は、
(p,q,r,s)とベクトルa,b,c,dの第一成分、第二成分の内積がそれぞれ0ということから、(p,q,r,s)の4次元空間における2次元部分空間を表しています。
なので、その2次元部分空間の一次独立な2つの要素を基底として、すべての要素を表すことができるからです。

最初の質問文の書き方では、
p[1]a+q[1]b+r[1]c+s[1]d=0 (ただし、p[1]、q[1]、r[1]、s[1]はすべて0、ということはない)、
p[2]a+q[2]b+r[2]c+s[2]d=0 (ただし、p[2]、q[2]、r[2]、s[2]は、p[1]、q[1]、r[1]、s[1]の定数倍ではない)、のとき、
p[3]a+q[3]b+r[3]c+s[3]d=0
⇔
3行4列の行列
p[1]　q[1]　r[1]　s[1]
p[2]　q[2]　r[2]　s[2]
p[3]　q[3]　r[3]　s[3]
の3×3行列式がすべて0

お礼日時：2012/03/31 23:28