No.3ベストアンサー
- 回答日時:
f(x^4)-7=(f(x)-7)^4 …(1)
f(x)=x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+e …(2) とおいて(1)式に代入し、xの値にかかわらず成り立つ条件を求めれば解けるはずですが、計算量が膨大になるので、多少工夫を試みました。
(1)式のxに-xを代入すると、
f((-x)^4)-7=f(x^4)-7=(f(-x)-7)^4だから
(f(x)-7)^4-(f(-x)-7)^4=0 これを因数分解すれば
〔(f(x)-7)^2+(f(-x)-7)^2〕(f(x)+f(-x)-14)(f(x)-f(-x))=0
ここでf(x)はxの5次の項の係数が1の整式なので、xの値にかかわらず常に0となり得るのは
f(x)+f(-x)-14=0 のみである。(2)からf(-x)=-x^5+ax^4-bx^3+cx^2-dx+e なので
2ax^4+2cx^2+2e-14=0 これがxの値にかかわらず常に成り立つ条件は
a=0,c=0,e=7 である。
したがってf(x)=x^5+bx^3+dx+7 となり、このとき
f(x^4)-7=x^20+bx^12+dx^4=x^4・(x^16+bx^8+d)…(3)
(f(x)-7)^4=(x^5+bx^3+dx)^4=x^4・(x^4+bx^2+d)^4…(4)
(4)-(3)=0より
(f(x)-7)^4-(f(x^4)-7)=x^4・〔(x^16+bx^8+d)-(x^4+bx^2+d)^4〕=x^4・〔x^16+(4b)x^14+(4d+6b^2)x^12+(12bd+4b^3)x^10+(12b^2d+b^4+6d^2-b)x^8+(12bd^2+4b^3d)x^6+(6b^2d^2+4d^3)x^4+(4bd^3)x^2+6d^2-d〕=0
この式がxの値にかかわらず成り立つ条件はxの各次数の係数がすべて0となるように、以下の式がすべて成り立つことである。
4b=0,4d+6b^2=0,12bd+4b^3=0,12b^2d+b^4+6d^2-b=0,12bd^2+4b^3d=0,6b^2d^2+4d^3=0,4bd^3=0,6d^2-d=0
最初の式からb=0 次の式に代入すればd=0,このb=d=0のとき、残りの式もすべて成り立つ。
したがってf(x)=x^5+7であり、このときf(x^4)-7=(f(x)-7)^4=x^20 となって確かに(1)を満たす。
この回答への補足
>ここでf(x)はxの5次の項の係数が1の整式なので、xの値にかかわらず常に0となり得るのは
>f(x)+f(-x)-14=0 のみである。
何故xの値に関わらず常に0となるのを取り出したのでしょうか?
No.2
- 回答日時:
f(x)=x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+e ,,,(A)
とおき次式に代入
f(x^4)-7-(f(x)-7)^4=0 ...(B)
これはxについての恒等式なのでxの各次の係数は全てゼロとなる。
x^19の係数:-4a=0 ∴a=0
x^18の係数:-6a^2-4b=0 ∴b=0
x^17の係数:-4a^2-12ab-4c=0 ∴c=0
x^16の係数:-4d-12ac-6b^2-12(a^2)b-a^4+a=0 ∴d=0
x^15の係数:-4e-12ad-12bc-12(a^2)c-12ab^2-4(a^3)b+28=0 ∴e=7
x^14の係数: 0
x^13の係数:0
x^12の係数:0
x^11の係数:0
x^10の係数:-6(e-7)^2=0 (成立)
x^9の係数:0
x^8の係数:0
x^7の係数:0
x^6の係数:0
x^5の係数:-4(e-7)^3=0 (成立)
x^4の係数:0
x^3の係数:0
x^2の係数:0
xの係数:0
定数項:-(e-8)(e-7)(e^2-13e+43)=0 (e=7より成立)
以上から
a=b=c=d=0,e=7
(A)に代入して
f(x)=x^5+0x^4+0x^3+0x^2+0x+7=x^5+7
この回答への補足
>これはxについての恒等式なのでxの各次の係数は全てゼロとなる。
この意味がよく分からないので、出来れば説明して頂きたいです お願いします
No.1
- 回答日時:
まあ、字数の高いところの係数を
1つ1つ決めていく感じかな?
---
f(x)=x^5+ax^4+(3次以下)とおく。
すると
f-7=x^5+ax^4+(3次以下)
(f-7)^4=x^20 + 4×(x^5)^3×(ax^4) + (もっと低い次数)
となる。(※単に展開するだけだけど、二項定理などを使って考える)
また、
f(x^4)-7=x^20 + ax^16 + (もっと低い次数)
である。
19次の項の係数を比較してa=0
---
ではあらためて、
f(x)=x^5+ax^3+(2次以下)とおく。
・・・
・・・
以下同じようにして
整式fの3次、2次、1次の項の係数および定数項を
順次決定していく。
という感じかな??
あんまり自信ない。
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