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d^2r/dt^2の意味が知りたいです
どうやらこれが加速度を表してるみたいなのですが、ちょっと知ってるくらいの私の微分の知識ではよく分かりません
説明して頂きたいです よろしくお願いします

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A 回答 (2件)

これはrをtで2回微分する、という意味です。

定義ですので覚えるしかありません。
r(位置ベクトルでしょう)を時間tで微分するとその瞬間の速度v=dr/dtが得られます。
速度vを時間tで微分すると加速度a=dv/dtが得られます。(v,aはベクトル)
a=dv/dt=(d/dt)(dr/dt)=d^2r/dt^2
です。
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この回答へのお礼

分かりました ありがとうございました

お礼日時:2012/05/15 10:39

速度vは位置rを時間で微分した値v=dr/dt=(d/dt)r


加速度aは速度vを時間で微分した値a=dv/dt=(d/dt)v
すなわち,加速度は位置を時間で二階微分した値
a=(d/dt)(d/dt)r=(d/dt)^2r
微分演算(d/dt)が二回作用することを,
(d/dt)^2のつもりでd^2/dt^2と表します。
a=(d^2/dt^2)r=d^2r/dt^2
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この回答へのお礼

ありがとうございました 理解できました

お礼日時:2012/05/15 10:39

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Qma=Fと微分方程式 m・d^2r/dt^2=F

高校の物理で習うma=Fというニュートンの第2法則ですが、
これを微分方程式m・d^2r/dt^2=Fで解くと何がより分かるように
なるのでしょうか?
またこれ以外にも微分方程式で解くことによる利点を教えて
頂けないでしょうか?

よろしくお願いします

Aベストアンサー

 高校物理では等加速度運動に限定するため、ma=Fという式をよく用いますが、ご承知の通り、それは微分方程式m・d^2r/dt^2=Fの特別な場合です。

 m・d^2r/dt^2=Fは、実は物凄い式です。Fも時刻変化するため、m・d^2r/dt^2=F(t)と書いておいた方がいいかもしれません。また、速度vも考えると、m・d2v/dt=Fです。なお、vもrもベクトルです。

 その式が何を意味しているかといえば、「質量mの物体と位置、物体にかかる力の関係式」ということです。つまり、どんな時刻でもいいので物体の位置が分かり、物体にかかる力がどんなものか分かれば、物体の運動を無限の過去から未来永劫に渡って知ることができる、ということです。

 物体にかかる力は、直接の接触、重力、電磁気力しかありません(ただし、ニュートン力学や電磁気学のマクスウェル方程式が最終的な真理と思われていた19世紀末頃の知見)。それらは、質量や電荷が分かればどれだけかは厳密に確定します。つまり、どんなときにどれだけの力を及ぼすかは分かるわけです。

 そうすると、「どんな時刻でもいいので、全宇宙の粒子の種類と位置さえ分かり、無限の計算能力があれば、宇宙全体を無限の過去から永劫の未来に渡って知ることができる」ということになります(そうできる存在を想像して「ラプラスの悪魔」と呼んだりする)。

 そのことを言い換えると、この宇宙で起こることは全て確定している、宇宙のどこでも、いつでも、どんなことが起こるかは、宇宙が誕生したときに全て決まっている、ということになります。

 こうして回答を書いているのも、質問者様が疑問に思って質問されたことも、宇宙誕生のときから決まっていた、ということです。そうなっているという考え方を「決定論」と呼びます。

 微分方程式m・d^2r/dt^2=Fは、そういうことまで言っている式なのです。

 微分方程式による物理学は、電磁気学で威力を発揮しました。電荷の間に電磁気力が働く、という考え方を遠隔作用説と呼びます。微分方程式ではない簡素な式で物理現象を記述できます。それを「電荷の周りに電磁気的な場ができる」と考えるのを近接作用説といい、微分方程式による記述になります。

 遠隔作用説では説明できないことがあったり、電磁波の数学解も出て来ませんでした。近接作用説に則り、微分方程式で記述し直すと、電磁波の数学解が出てきて、実験してみると電磁波が発見されました。重力もニュートンの式は遠隔作用説の記述ですが、アインシュタインが近接作用説で書き直し、重力に対する理解が非常に進んで、今まで説明不能だったことが説明できるようになりました。

 遠隔作用説の微分方程式でない数式は二つ以上の物体を不可分として扱わねばなりません。数式は簡素でも、物理学的には複雑なことを表しています。一方、近接作用説で考えて出てくるのは微分方程式という見た目は複雑な数式ですが、数式が表しているのは一つの物体についてであり、内容的には簡素です。近接作用説は物理現象を、遠隔作用説より細かく分解して記述しているといえます。

 物理学では、物理現象を調べるときに、できるだけ細かい要素に分けて、一つ一つの要素を調べます。一つ一つが分かったら、元の形に組み直していき、ようやく「分かった」となります。細かく分解できるほど、正確に、精密になるというのが、経験的な事実です。微分方程式による記述は、もっと正確に、より精密にということの顕れです。当然、物理学として進歩します。

P.S.

 決定論は間違っていることが既に判明しています。量子力学の成果です。量子力学は「物理現象の根本は不確定で確率的である」としています。何事も100%の精度で知ることはできず、サイコロの目の出方次第で変わってしまうのですから、たとえ宇宙全体を観測できて、無限の計算能力を持っていても、ラプラスの悪魔にはなれないわけです。

 高校物理では等加速度運動に限定するため、ma=Fという式をよく用いますが、ご承知の通り、それは微分方程式m・d^2r/dt^2=Fの特別な場合です。

 m・d^2r/dt^2=Fは、実は物凄い式です。Fも時刻変化するため、m・d^2r/dt^2=F(t)と書いておいた方がいいかもしれません。また、速度vも考えると、m・d2v/dt=Fです。なお、vもrもベクトルです。

 その式が何を意味しているかといえば、「質量mの物体と位置、物体にかかる力の関係式」ということです。つまり、どんな時刻でもいいので物体の位置が分かり、物体にかか...続きを読む

Q加速度 a=dv/dt = (d^2 x) /dt^2

加速度 a=dv/dt = (d^2 x) /(dt^2)
という公式があったのですが、(d^2 x) /(dt^2)はどうやって出せばよいのでしょうか?
dv/dt のvに
v=dx/dt
を代入すると
a=(d^2 x) /(d^2 t^2)
になってしまいます。
計算がまちがっているのでしょうか?

Aベストアンサー

微分でわからなくなったら差にして考えてみてください。

速度vというのは、Δtを十分に小さい量として

v(t) = [ x(t+Δt)-x(t) ]/[ (t+Δt)-t ] = Δx(t)/Δt

ですね。同じようにして加速度a(t)は

a(t) = [ v(t+Δt)-v(t) ]/[ (t+Δt)-t ] = Δv(t)/Δt

ですが、v(t)に上の結果を使うと

a(t) = Δv(t)/Δt = Δ[Δx(t)/Δt]/Δt = Δ[Δx(t)]/(Δt)^2

です。

微分というのはΔt→0の極限を取ったときにΔをdと書くという
約束になっているというだけのことなので、

a=dv/dt = (d^2 x) /(dt^2)

は間違いで、本当は

a=dv/dt = (d^2 x) /(dt)^2

という意味です。

また、

a=(d^2 x) /(d^2 t^2)

も間違いです。こう書いてしまうと分母はΔ(Δt^2)という意味になってしまいます。

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Q2階微分d^2y/dx^2を詳しく教えてください

微分=傾き=tanθ=dy/dxと言うのは入門書でなんとかわかったのですが
2階微分=傾きの変化率(傾きの傾き)=d^2y/dx^2
のこのd^2y/dx^2がなぜこうなるのかぜんぜんわかりません。
dy/dxがどう変化してd^2y/dx^2となるのか教えてください。
いろいろ本やネットで調べましたが傾き=tanθ=dy/dxまでは入門書でも
詳しく書かれているのですがd^2y/dx^2へはどの解説でもいきなり飛んでいってしまいます。

Aベストアンサー

表記の仕方ですか?
dy/dxは 
yをxで微分するということです
2階微分はdy/dxをさらにxで微分するということです
dy/dxのyのところをdy/dxにおきかえれば
d(dy/dx)/dx=d^2y/dx^2
見た目ではdが2回掛かっているからd^2
dxの部分も2回掛かっているのでdx^2なんですが
dを1つの変数とみたり、dxを1つの変数と見てたりして分かりにくいかもしれません
これはそう決めたからなんです
ある程度覚えるしかないです

Qy=x^(1/x) の 微分

y=x^(1/x) の微分を教えてください。
簡単な問題なのにすいません。

Aベストアンサー

対数微分法で微分できます。まずは両辺の対数をとって

y = x^(1/x)
→log|y| = log|x^(1/x)|
→log|y| = (1/x)log|x|

このlog|y| = (1/x)log|x|の両辺をxで微分します。

まず左辺をxで微分することを考えます。
f(x) = log|x|とおき、g(x) = yとおくと、
log|y| = f(g(x))
ですので、

(log|y|)'
={ f(g(x)) }'
= f'(g(x)) × g'(x)

です。f'(x) = 1/xですのでf'(g(x)) = 1/y、
g'(x) = (y)' = y'より、
(log|y|)'
= f'(g(x)) × g'(x)
= y' / y

です。
y = x^(1/x)を代入すると

(log|y|)'
= y' / y
= y' / { x^(1/x) }

となります。

(log|y|)' = { (1/x)log|x| }'
→y' / { x^(1/x) } = { (1/x)log|x| }'

この両辺に{ x^(1/x) }をかけると

y' = { x^(1/x) } × { (1/x)log|x| }'

となります。
なので{ (1/x)log|x| }'の計算をすればy'が求まります。
積の微分で解いてください。

対数微分法で微分できます。まずは両辺の対数をとって

y = x^(1/x)
→log|y| = log|x^(1/x)|
→log|y| = (1/x)log|x|

このlog|y| = (1/x)log|x|の両辺をxで微分します。

まず左辺をxで微分することを考えます。
f(x) = log|x|とおき、g(x) = yとおくと、
log|y| = f(g(x))
ですので、

(log|y|)'
={ f(g(x)) }'
= f'(g(x)) × g'(x)

です。f'(x) = 1/xですのでf'(g(x)) = 1/y、
g'(x) = (y)' = y'より、
(log|y|)'
= f'(g(x)) × g'(x)
= y' / y

です。
y = x^(1/x)を代入すると

(log...続きを読む

QNをkgに換算するには?

ある試験片に40kgの重りをつけた時の荷重は何Nをかけてあげると、重り40kgをつけたときの荷重と同等になるのでしょうか?一応断面積は40mm^2です。
1N=9.8kgfなので、「40kg=N×0.98」でいいのでしょうか?
ただ、式の意味がイマイチ理解できないので解説付きでご回答頂けると幸いです。
どなたか、わかる方よろしくお願いします。

Aベストアンサー

こんにちは。

kgfはSI単位ではないですが、質量の数値をそのまま重さとして考えることができるのがメリットですね。


>>>
ある試験片に40kgの重りをつけた時の荷重は何Nをかけてあげると、重り40kgをつけたときの荷重と同等になるのでしょうか?

なんか、日本語が変ですね。
「ある試験片に40kgの重りをつけた時の引っ張りの力は何Nの力で引っ張るのと同じですか?」
ということですか?

・・・であるとして、回答します。

40kgのおもりなので、「おもりにかかる重力」は40kgfです。

重力は万有引力の一種ですから、おもりにも試験片にも、地球からの重力はかかります。
しかし、試験片の片方が固定されているため、見かけ、無重力で、試験片だけに40kgfの力だけがかかっているのと同じ状況になります。

試験片にかかる引っ張り力は、

40kgf = 40kg×重力加速度
 = 40kg×9.8m/s^2
 = だいたい400N

あるいは、
102グラム(0.102kg)の物体にかかる重力が1Nなので、
40kg ÷ 0.102kg/N = だいたい400N


>>>1N=9.8kgfなので、「40kg=N×0.98」でいいのでしょうか?

いえ。
1kgf = 9.8N
ですね。


>>>一応断面積は40mm^2です。

力だけでなく、引っ張り応力を求めたいのでしょうか。
そうであれば、400Nを断面積で割るだけです。
400N/40mm^2 = 10N/mm^2 = 10^7 N/m^2
1N/m^2 の応力、圧力を1Pa(パスカル)と言いますから、
10^7 Pa (1千万パスカル) ですね。

こんにちは。

kgfはSI単位ではないですが、質量の数値をそのまま重さとして考えることができるのがメリットですね。


>>>
ある試験片に40kgの重りをつけた時の荷重は何Nをかけてあげると、重り40kgをつけたときの荷重と同等になるのでしょうか?

なんか、日本語が変ですね。
「ある試験片に40kgの重りをつけた時の引っ張りの力は何Nの力で引っ張るのと同じですか?」
ということですか?

・・・であるとして、回答します。

40kgのおもりなので、「おもりにかかる重力」は40kg...続きを読む

Q自動車学校で適性検査の結果のことで呼び出されました

今通っている自動車学校で、適性検査の結果のことで呼び出しを受けました
今日学校に到着すると、原簿(生徒個人の進度などを記録するための帳簿)に
「お聞きしたいことがあります。△△」
という判子付きのメモ書きが取り付けられており、受付に尋ねると、一人の職員が私の方へ険しい顔つきで近づいてきました
「□□さんですね。こちらへどうぞ。」と言われ、言われるがままに後をついていきました
半個室のような場所へ通され、「どうぞおかけください。」と言われたので席に着きました
相手は席に着くなり「まあこれはお手元にどうぞ。」と言って一枚の紙切れを私に投げ渡しました
怪しむような表情で、「先日の適性検査の結果なんですが、”いつも誰かが私を陥れようとしている”というところに○がついていたのですが」と切り出され
入校式当日に受けた適性検査のことだと思いました。適性検査を決して悪ふざけで書き込んだわけではありませんが、私はその検査にそんな項目があったことすら覚えていませんでした
「そんなところに私、○つけましたっけ?」と言うと
「たしかについてました。あなたは常日頃こういうことを思っているんですか?」と言い返されました
「別にそんなことはないですけど。」と答えると
「それではこれは書き間違えということですね。もう結構ですよ、確認は取れましたので。」
とだけ言い残して相手はまだ席についていましたが、不愉快だなと思いながら私はその場を立ち去りました

しかし今更になって不安というか、どういうこと?と疑問がわいてきて
インターネットで検索してみると、自動車学校の適性検査で落ちました、という質問もあり
まさか?思っています
今回の適性検査は入校式当日に行い、たくさんの種類の検査をしました。おそらく今回問題の性格面での検査は、職員が「順番に次々と読み上げていきますので深く考えずに印をつけていってください」と言っていました
この言葉を鵜呑みにしてバカ正直に答えた私が悪かったですか?
また、「この適性検査は都道府県によって作成されたものです。」とも言っていました

また、学校側はどういうつもりなのでしょうか?
都道府県が作成したということは都道府県が採点するんですよね?
都道府県から学校側に注意がいって、といったところでしょうか?
自動車学校と都道府県はどういう関係で、どんなことがあって、今回のようなことになったのですか?
学校には次は明後日に行く予定です。これからも安心して学校に通うためには、私は何かするべきことはありますか?いつも通りの態度でいいですか?
こんなことを不安に思っているとそれこそ本当に私がいつも誰かが私を陥れようとしていると思っている人みたいで嫌なんですけど、かといって今は安心できる材料もありません。一生懸命工面したお金です、万が一のことがあったら耐えられません。下手に動きたくないし、同じ自動車学校に知り合いもおらず、身近に相談できる人もいないので相談させて頂きます。よろしくお願いします。
投げ渡された紙切れには結果のみが記してあり、問題用紙および解答用紙は返ってきていません。判子つきのメモ書きも相手が持っていきました。

できる限り詳細に書きましたが、一般的にこの状況で入校を取り消されたりすることはありますか?

今通っている自動車学校で、適性検査の結果のことで呼び出しを受けました
今日学校に到着すると、原簿(生徒個人の進度などを記録するための帳簿)に
「お聞きしたいことがあります。△△」
という判子付きのメモ書きが取り付けられており、受付に尋ねると、一人の職員が私の方へ険しい顔つきで近づいてきました
「□□さんですね。こちらへどうぞ。」と言われ、言われるがままに後をついていきました
半個室のような場所へ通され、「どうぞおかけください。」と言われたので席に着きました
相手は席に着くなり「まあこ...続きを読む

Aベストアンサー

適性検査とは運転の適性があるかどうかを見る検査なので、思った通りを答えるのが正しいのです。

で、ほとんどの人は自分は普通の人間だと思ってます。たいていは普通の判断力を持っている、普通の人です。

でも中には普通でないけど、自分だけ普通と思い込んでいる人もいるわけです。だから、「おかしい」人を見つけ出すために検査しているわけです。

差別するわけではないですが、正しい判断力がないと思われる人に、場合によっては何人も殺傷できる車を運転させることは、社会として排除しなければ、多くの人の迷惑となるわけです。善良な市民が何の理由もなく車で殺傷されて良い訳はありません。自動車免許を取りたいという個人の要望ももっともですが、社会の安全を守るということも大事なことです。ひとたび免許を取得すれば、車は凶器になりうるので、資格取得に際しての適格か否かが問われているのです。

その第一関門がこの適性検査で、普通は「落ちる」ことはありません。自分が気が付いていない自分の傾向を客観的にとらえ、運転上で気を付けるべき点を喚起するための検査です。

心理学などを踏まえて、きちんと根拠のある検査ですし、車を運転すると「人が変わる」という人も多いので、何度も似たような質問が続きその人の日頃の考える傾向がわかるようにはなっています。

ただ、ご指摘のような項目に○がついていると脅迫概念とか、被害妄想の疑いをもたれるとは思います。直接本人と会って確認するのは自動車学校の務めですし、別に悪気があってやっているわけではありません。都道府県というか、自動車免許自体が公的なもので、各都道府県の公安委員会の管轄の元発行される自動車運転に関しての許可証です。その発行許可の一端を担っているのが公認自動車学校ですから、当然厳正なる適格審査をしているわけです。少しでも怪しい人は免許取得から排除しなければなりません。

後日卒業生が卒業後1年以内に重大な事故を起こした場合は、公安委員会から自動車学校に対しての指導もあり得ます。当然運転技能に対して習熟させたかどうかが問われるわけですし、運転適性なども適格であったかどうかの記録は自動車学校に残っています。

本当に書き間違えなら特に問題もありませんが、設問をよく理解して答えるという点からすれば注意力散漫で運転時には注意が必要だと思います。また、逆に本当に常日頃から「いつも誰かが私を陥れようとしている」と考えているのなら、自動車運転はなさらないほうが良いかと思いますが。些細な追い越しや車線変更のトラブルから重大な事故につながりかねません。
どちらが真実なんでしょうか。

適性検査とは運転の適性があるかどうかを見る検査なので、思った通りを答えるのが正しいのです。

で、ほとんどの人は自分は普通の人間だと思ってます。たいていは普通の判断力を持っている、普通の人です。

でも中には普通でないけど、自分だけ普通と思い込んでいる人もいるわけです。だから、「おかしい」人を見つけ出すために検査しているわけです。

差別するわけではないですが、正しい判断力がないと思われる人に、場合によっては何人も殺傷できる車を運転させることは、社会として排除しなければ、多くの...続きを読む

Qsec, cosec, cotan

sec, cosec, cotanとはそれぞれどんな関数なのですか?
読み方(セカント?,…)、分かれば日本語名称(sinなら正弦)も教えてください。

Aベストアンサー

sec(x)はセカント
cosec(x)はコセカント
cotan(x)はコタンジェント

です。関数としては、

sec(x)=1/cos(x)
cosec(x)=1/sin(x)
cotan(x)=1/tan(x)

になります。
残念ながら、日本語名称はわかりません。

Q「すいません」と「すみません」どちらが正しい?

 タイトルにあるとおり、素朴な疑問になりますが、「すいません」と「すみません」ではどちらが日本語として正しいのでしょうか。分かる方ぜひ教えてください。

Aベストアンサー

もともとは「すみません」ですが、「すいません」と発音しやすく変えたものもたくさん使います。
話す時はどちらでもいいですよ。

ただ、私個人の語感で言うと、公式的な場では「すみません」の方がいいような気もします。「すいません」はちょっとくだけた感じかな。でも、これはあくまで私個人の語感。人によって、あるいは地方によっても感じ方は違うだろうと思います。

書くときはもちろん「すみません」にしましょう。

発音しやすく変化した発音の他の例としては
手術(しゅじゅつ→しじつ)
洗濯機(せんたくき→せんたっき)
などがあります。これも、話す時にはどちらでもいいです。「しじつ」「せんたっき」と書いてはいけませんが。


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